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Dezimalbruchdarstellung von 1/p

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Primzahlen

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Primzahl

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13:00 Uhr, 29.06.2012

Moin,

ich soll alle Primzahlen

p

bestimmen, für welche die Dezimalbruchentwicklund von

\frac{1}{p}

die Periodenlänge 8 hat.

Mein Ansatz:

p = 2 \land p = 5

entfallen, da

l = 1

und somit ein der Bruch nicht periodisch wäre

(l =

Länge der Vorperiode,

k =

Länge der Periode).

daraus folgt allerdings das der Bruch rein periodisch ist.

Die Periodenlänge berechnet sich aus

10^{k} \equiv 1 mod p,

k = 8

folgt

10^{8} \equiv 1 mod p

.
Da

φ (p) = p - 1

ist, folgt daraus, dass

p \geq 11

sein muss, da

k | p - 1

\Rightarrow 8 | φ (p)

\Rightarrow 8 m = p - 1

\Rightarrow 8 m + 1 = p

also muss

p

die Bedingung erfüllen, dass

p = 8 m + 1

und

10^{8} \equiv 1 mod p

.

Ab hier komme ich irgendwie nicht weiter... Kann mir jemand weiter helfen?

Liebe Grüße von der Ostsee

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