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Diagonalisierte Matrix - zwei Ergebnisse?
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Diagonalisierbarkeit, diagonalisieren, Diagonalmatrix, Eigenvektor, Eigenwert
 
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Hallo zusammen, ich möchte eine Matrix diagonalisieren. Meine Hochschule stellt hierzu einen online-Trainer, die Lösung wird dann nach Eingabe der Lösung angezeigt. Ich fange also mit meiner Matrix an zu rechnen. Ich ermittele die Eigenwerte. Stimmt. Ich ermittele die Eigenvektoren. Stimmt. Jetzt wirds tricky. Ich nehme die Eigenvektoren als Basis her, ermittele die Übergangsmatrix P von der kanonischen Basis zu dieser und die zugehörige Inverse P^-1 Jetzt ermittele ich durch A`= P^-1*A*P meine Diagonalmatrix. Ob das Ergebnis richtig ist, hängt nun davon ab in welcher Reihenfolge ich meine Basisvektoren hergenommen habe. Habe ich zufällig (a,b) (c,d) als Basis genommen stimmt alles, habe ich aber (c,d)(a,b) genommen, so ist meine Diagonalmatrix die Transponierte der Ergebnismatrix die das System anzeigt. Woher weiß ich in welcher Reihenfolge ich die Basisvektoren nehmen muss um P zu erzeugen? Ich dachte bisher das sei egal... 1000 Dank |
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"Habe ich zufällig (a,b) (c,d) als Basis genommen stimmt alles, habe ich aber (c,d)(a,b) genommen, so ist meine Diagonalmatrix die Transponierte der Ergebnismatrix die das System anzeigt." Wie meinst Du das? Transponierte der Diagonalmatrix ist die Diaganolmatrix selber, da ändert sich nichts. |
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Hallo, die Transponierte kann es nicht sein. Es sind eher die Eigenwerte auf der Diagonalen in entsprechender Weise permutiert. Bei einer zweireihigen Matrix sind halt eben die beiden Eigenwerte vertauscht. Die Reihenfolge der Diagonaleinträge hält von der Reihenfolge der zugehörigen Eigenvektoren in der Basis ab. Die kann man aber zumeist frei wählen, weshalb in den entsprechenden Sätzen auch immer von "Eindeutigkeit bis auf Vertauschung der Diagonaleinträge" (o.ä.) die Rede ist. Nun erkennt ein "dummes" Programm aber oft nur genau eine Reihenfolge als richtig, sodass die "mathematische Richtigkeit" von der "Erwartung" abweichen mag. Näheres können dir Professor, Übungsleiter oder Korrektoren sagen. Mfg Michael |
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Es gilt also für das Ergebnis der Anhang?  |
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So darf man nicht schreiben, denn die Matrizen sind natürlich nicht gleich. |
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Hab mich dumm ausgedrückt. Die beiden Ergebnisse sind als Ergenbnis der Suche nach der Diagonalmatrix äquivalent? |
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Nun, das sind Diagonalisierungen bzgl. unterschiedlicher Basen. Ich weiß nicht, welche Äquivalenz Du meinst. |
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Die beiden Ergebnisse entstammen der Suche nach der Diagonalmatrix einer 2x2-Matrix. Ich habe die zwei Eigenvektoren v1 und v2 korrekt ermittelt. Nun brauche ich eine Übergangsmatrix P. Wenn ich die Basisvektoren (v1)(v2) als Basis nehme kommt das eine Ergebnis raus, wenn ich die Basisvektoren vertausche und die Basis als (v2)(v1) nehme kommt das Andere. in welcher Reihenfolge ich die Basisvektoren nebeneinander schreibe ist aber doch völlig egal... |
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Darüber hat schon Michael oben geschrieben, ich kann dem nichts Neues zufügen. |
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Du schreibst ja oben es seien Diagonalisierungen bzgl. unterscheidlicher Basen. Ist aber nicht so, es ist die gleiche Basis, nur die Basisvektoren stehen bei der Berechnung in anderer Reihenfolge. Ich möchte nur ausschließen einen Denk- oder Verständnisfehler zu haben |
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"die Basisvektoren stehen bei der Berechnung in anderer Reihenfolge" Damit ist es eine andere Basis. Bei Basen ist die Reihenfolge der Vektoren wichtig. |
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Ok, danke. Und bei der Diagonalisierung ist es egal welche Reihenfolge (Basis) ich nehme, es sind beides Diagonalbasen der Ausgangsmatrix? Also gibt es für die Aufgabe “nxn-Matrix diagonalisieren“ n mögliche akzeptierte Ergebnisse? Darum dreht sich die Frage. |
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Oben soll es natürlich n! Möglichkeiten heißen Ich hab ja nur meine n ermittelten Eigenvektoren, die ordne ich ja willkürlich zu einer Basis an... |
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Nicht , sondern im allgemeinen . Ja, sie sind alle korrekt. |
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| Super, vielen Dank |
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