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Dichte -> Verteilungsfunktion

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Verteilungsfunktionen

Tags: dicht, Verteilungsfunktion

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13:26 Uhr, 13.04.2018

Hi es geht um die untere Aufgabe. Als erstes habe ich die Schreibweise geändert zu:
f(x)= x für 0<x<1
= 0.5 für 2<x<3

Nun will ich die Verteilungsfunktion berechnen, um die Wahrscheinlichkeit herausfinden zu können. Für 0<x<1 habe ich dabei die Stammfunktion

F (x) = x^{2} / 2

heraus und für 2<x<3

F (X) = 0.5 x

Hierfür habe ich die jeweilige Funktion immer mit der unteren Grenze des Intervalls und x integriert:

\int_{0}^{x} x d x = x^{2} / 2

\int_{0}^{2} 0.5 d x + \int_{2}^{x} 0.5 d x = 0.5 x

Jedoch kommt nach Einsetzen in die neuen Verteilungsfunktionen nicht das erwünschte Ergebnis (0.625) heraus. Kann mir jemand helfen, den Fehler zu finden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:28 Uhr, 13.04.2018

Du brauchst

\int_{0.5}^{2.5} f (x) d x

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13:29 Uhr, 13.04.2018

Ich weiß, aber geht es denn so wenn eine abschnittsweise definierte Funktion gegeben ist? Ich hatte gelesen die dichte muss Erst in eine Verteilungsfunktion konvertiert werden.

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13:32 Uhr, 13.04.2018

"Ich weiß, aber geht es denn so wenn eine abschnittsweise definierte Funktion gegeben ist?"

Natürlich. Was für Rolle kann es spielen, wie

f

definiert ist?
Solange

f

integrierbar ist, ist alles Andere egal.

"Ich hatte gelesen die dichte muss Erst in eine Verteilungsfunktion konvertiert werden."

Quatsch.

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13:38 Uhr, 13.04.2018

kannst du mir bitte vorrechnen, wie du das meinst? Ich habe nun in die Stammfunktionen von x und 0.5 die Grenzen 0.5 & 2,5 eingesetzt. Jedoch immer noch das falsche Ergebnis
Vielen Dank

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13:41 Uhr, 13.04.2018

\int_{0.5}^{2.5} f (x) d x = \int_{0.5}^{1} x d x + \int_{2}^{2.5} 0.5 d x = [x^{2} / 2]_{0.5}^{1} + 0.5 \int_{2}^{2.5} d x = \frac{1}{2} - \frac{0.25}{2} + 0.5 \cdot 0.5 = 0.625

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13:47 Uhr, 13.04.2018

Ah okay, vielen Dank dafür! Hast du vielleicht eine Regel für mich, wann man grundsätzlich in eine Verteilungsfunktion konvertiert und wann nicht?

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13:49 Uhr, 13.04.2018

Grundsätzlich nie.
Wenn man Dichte hat, braucht man selten Verteilungsfunktion.
Es sei denn, es wird explizit nach ihr gefragt.

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13:56 Uhr, 13.04.2018

Ok danke schön! Könntest du mir vielleicht noch helfen o.g. in eine Verteilungsfunktion zu konvertieren? Denn nun muss ich das 0.9-Quantil berechnen, wo ich ja auf jeden Fall die Verteilungsfunktion brauche

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14:00 Uhr, 13.04.2018

"wo ich ja auf jeden Fall die Verteilungsfunktion brauche"

Eigentlich nicht.
Du brauchst ein

a

, so dass

\int_{- \infty}^{a} f (x) d x = 0.9

, dazu reicht wiederum die Dichte.
Die Verteilungsfunktion ist nur das Integral:

F (a) = \int_{- \infty}^{a} f (x) d x

, das kannst Du bestimmt auch selber berechnen. Beachte, dass Du nur über

[0, 1]

und

[2, 3]

integrieren musst, denn sonstwo ist

f (x) = 0

. Die Definition von

F (a)

wird also unterschiedlich sein für verschiedene Bereiche, welche sind

(- \infty, 0]

(0, 1]

(1, 2]

(2, 3]

und

(3, \infty)

(im 1. Intervall ist

F = 0

und im letzten

F = 1

, für die anderen muss man integrieren).

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14:04 Uhr, 13.04.2018

Aber welche Funktion integriert man bspw. für das Intervall [1,2] ? Denn beide Funktionen sind für den Bereich nicht definiert.

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14:07 Uhr, 13.04.2018

Wenn ein Punkt

a

(1, 2)

liegt, dann gilt

F (a) = \int_{\infty}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{a} f (x) d x =

= \int_{0}^{1} f (x) d x = F (1)

, denn

f (x) = 0

für

x

aus

(1, 2)

.
Damit ist

F

auf ganz

(1, 2)

konstant, gleich

F (1)

.

Das alles ist in jedem Buch beschrieben, keine Ahnung, warum Du das im Forum fragst.

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14:13 Uhr, 13.04.2018

Natürlich ist es das, wenn jedoch der Groschen noch nicht gefallen ist, bringt mir das nunmal wenig. Dafür sind so Foren letztendlich ja auch da :-)
Ich verstehe nun jedoch einfach nicht, was das alles mit dem Quantil zu tun hat. Bei uns im Skript steht:
F(x) = a wobei a das Quantil.
Also möchte ich hier nun die Verteilungsfunktion berechnen. Ich wäre dir sehr sehr verbunden, wenn du mir die Verteilungsfunktion vorrechnen könntest

Danke

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14:20 Uhr, 13.04.2018

"F(x) = a wobei a das Quantil."

Das ist doch genau, was ich oben geschrieben habe:

\int_{\infty}^{a} f (x) d x = 0.9

, denn

0.9

ist Dein Quantil.
Und

\int_{\infty}^{a} f (x) d x

ist per Definition

F (a)

.
Aber wir brauchen

F (a)

nicht für alle

a

zu berechnen für diese Aufgabe.
Ick kann direkt vermuten, dass

a

(2, 3)

liegt (denk darüber nach, warum) und dann

\int_{\infty}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{2}^{a} f (x) d x

nutzen,
also haben wir

\int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{2}^{a} f (x) d x = 0.9

,
was zu

\int_{0}^{1} x d x + \int_{2}^{a} 0.5 d x = 0.9

wird und dann zu

0.5 + 0.5 (a - 2) = 0.9

. Was zu

a = 2.8

führt. Das ist das 90%-Quantil.
Und Du brauchst hier gar nicht zu wissen, wie

F (x)

im Intervall

(1, 2)

oder im Intervall

(2, 3)

aussieht.

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14:24 Uhr, 13.04.2018

Die Verteilungsfunktion an sich ist dann:

0

für

x < 0

\int_{0}^{x} t d t = \frac{x^{2}}{2}

für

x \in [0, 1)

\int_{0}^{1} x d x = 0.5

für

x \in [1, 2)

\int_{0}^{1} x d x + \int_{2}^{x} 0.5 d x = 0.5 x - 0.5

für

x \in [2, 3)

1

für

x \geq 3

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14:38 Uhr, 13.04.2018

Ok ich habs! Vielen lieben Dank für die Geduld!

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