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Dichte bestimmen und momenterzeugende Funktionen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: momenterzeugende Funktion, Zufallsvariablen

FlavioSimonetti aktiv_icon

12:16 Uhr, 28.03.2019

Hallo Leute könnt Ihr mir bei folener Aufgabe helfen?

Gegeben ist eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen

X_{i} (w) = w^{i}, i = 1,2, . .

.
mit

w \in R

und Wahrscheinlichkeitsraum

(R, B, λ [0,1]),

wobei

λ [0,1]

das auf

[0,1]

eingeschränkte Lebesgue-Maß bezeichnet.

(a)

Geben Sie die Dichte von

X_{1}

an und benennen Sie die Verteilung (inklusive möglicher Parameter)

(b)

Zeigen Sie, dass die momenterzeugende Funktion von

X_{1}

gegeben ist durch:

M (s) = {\frac{1}{s} (e^{s} - 1)

für

s \neq 0,

1 für

s = 0

(c)

Berechnen Sie mit Hilfe der momenterzugenden Funktion den Erwartungswert von

X_{1}

. Hinweis: Sie können ohne Beweis verwenden, dass

M (s)

stetig differenzierbar auf

R

ist.

(d)

Zeigen Sie, dass

X_{i} \to (

Wahrscheinlichkeit gegen

) 0

für

i \to \infty

FlavioSimonetti aktiv_icon

13:29 Uhr, 28.03.2019

hat jemand einen tipp?!?!

HAL9000

14:22 Uhr, 28.03.2019

Ich denke, (a) solltest du selbst hinkriegen: Fang am besten mit der Verteilungsfunktion von

X_{1} (ω) = ω

an und leite die dann ab.

(b) Laut Definition ist

M (s) = E [e^{s X_{1}}]

. Der Erwartungswert einer Funktion einer stetigen Zufallsgröße ist (erinnere dich an den letzten Thread) gleich

E [g (X_{1})] = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X_{1}} (x) d x

,

das kann man nun auch für

g (x) = e^{s x}

anwenden. Es kommt raus (dabei setze ich die Dichte ein, die du in (a) noch berechnen musst...)

E [e^{s X_{1}}] = \int_{0}^{1} e^{s x} d x = {[\frac{1}{s} e^{s x}]}_{x = 0}^{1} = \frac{e^{s} - 1}{s}

.

Stimmt so natürlich nur für

s \neq 0

, den Sonderfall

s = 0

muss man per

\int_{0}^{1} e^{0 \cdot x} d x = \int_{0}^{1} 1 d x = 1

extra auswerten.

(c) Aus

M (s) = E [e^{s X_{1}}]

folgt gemäß Kettenregel Ableitung

M ´ (s) = E [e^{s X_{1}} \cdot X_{1}]

und somit

M ´ (0) = E [X_{1}]

. Wende das doch einfach auf

M (s) = \frac{e^{s} - 1}{s}

an. Der Hinweis mit der stetigen Differenzierbarkeit spielt darauf an, dass man

M ´ (0) = lim_{s \to 0} M ´ (s)

berechnen kann (und auch sollte).

(d) Hier ist offenbar von der Konvergenz "in Wahrscheinlichkeit" die Rede, da sollte man natürlich zunächst in Erfahrung bringen, was das heißt:

Für alle

ɛ > 0

muss man da

lim_{i \to \infty} P (∣ X_{i} - 0 ∣ \geq ɛ) = 0

nachweisen. Rechnen wir doch mal die dort vorkommende Wahrscheinlichkeit für

0 < ɛ \leq 1

explizit aus:

P (∣ X_{i} - 0 ∣ \geq ɛ) = P (X_{i} \geq ɛ) = P ({ω ∣ ω^{i} \geq ɛ) = P ({ω ∣ ω \geq \sqrt[i]{ɛ}) = 1 - \sqrt[i]{ɛ}

,

die noch anstehende Grenzwertbildung

i \to \infty

schaffst du sicher selbst.

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