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Dichte einer Zufallsvariable berechnen

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Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Hinata aktiv_icon

10:45 Uhr, 21.02.2022

Hallo,
ich habe eine Verständnisfrage zur Berechnung von Wahrscheinlichkeitsdichten. Ich habe schon öfters Aufgaben gesehen, wo eine Dichte

f (X)

angegeben wurde und man soll dann bspw f(kx) mit

k

aus den reellen Zahlen lösen oder auch

f (x^{2})

oder ähnliches. Nun war der Rechenweg meistens über die Verteilungsfunktion, die dann wieder abgeleitet wurde.
Mir ist inzwischen klar, dass man nicht direkt über die vorgegebene Dichte gehen kann, da im Allgemeinen NICHT P(kX=x) =?

P (X = \frac{x}{k})

. Aber ist denn immer P(kX<=

x) = P (X \leq \frac{x}{k}),

sodass dieses Schema über die Verteilungsfunktion zu gehen immer funktioniert?
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.
DANKE

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:30 Uhr, 21.02.2022

Das Problem zeigt sehr deutlich, dass die naive "Analogiebetrachtung" der stetigen Dichte

f (x)

als eine Wahrscheinlichkeit

P (X = x)

ziemlich schief gehen kann: Das ist sie eben NICHT.

P (k X = x) = P (X = \frac{x}{k})

ist hingegen schon richtig für alle

k \neq 0

, es nützt dir im Fall stetiger Zufallsgrößen nur überhaupt nichts, weil beide Werte gleich Null sind!!!

P (k X \leq x) = P (X \leq \frac{x}{k})

ist für alle Zufallsgrößen

X

(stetige, diskrete, und auch alle anderen) und alle POSITIVEN reellen Zahlen

k

richtig - schlicht deshalb, weil der Übergang von

k X \leq x

X \leq \frac{x}{k}

da eine äquivalente Ungleichungsumformung ist.

Kannst dir ja mal überlegen, was für reelle

k < 0

da passiert...

Hinata aktiv_icon

12:02 Uhr, 21.02.2022

AHH, ok das leuchtet mir schonmal ein..

P (X = x) \neq f (x)

ergibt sich also nur bei stetigen ZV, eben weil sie stetig sind und salopp gesagt somit die Wahrscheinlichkeit, dass GENAU dieser eine Punkt

x

"getroffen" wird gleich 0 ist? Also weil die Wahrscheinlichkeit einen Punkt aus einer Borel-Menge zu treffen immer 0 ist?
Und dieses "Problem" umgeht man damit den Weg über die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu gehen, da die Wahrscheinlichkeit

P (X \leq x)

ein Integral und damit nicht immer 0 ist?
Also wenn ich eine Dichte

f (x)

gegeben mit positiven x-Werten hätte und ich solle

f (sin (x))

berechnen, dass würde ich so vorgehen, dass ich

P (sin (X) \leq x)

P (X \leq

arcsin(

x))

umformen würde, dann hätte ich dadurch die Verteilungsfunktion

F (sin (x))

gegeben und würde diese wieder ableiten?
DANKE

HAL9000

12:54 Uhr, 21.02.2022

Jein: Die Umformung von

\sin (X) \leq x

X \leq \arcsin (x)

erfordert zum einen

- 1 \leq x \leq 1

, und gilt zum anderen auch nur dann, falls

X

nur Werte im Intervall

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

annehmen kann - denn nur dann ist das eine äquivalente Umformung!!!

Ist beispielsweise

X

gleichverteilt auf

[0, 2 π]

, dann gilt stattdessen im Fall

0 < x < 1

P (\sin (X) \leq x) = P (0 \leq X \leq \arcsin (x)) + P (π - \arcsin (x) \leq X \leq 2 π) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \arcsin (x)

Hinata aktiv_icon

13:44 Uhr, 21.02.2022

Hmm ich verstehe noch nicht genau wie man auf das

+ P (

pi−arcsin(x)<=

X \leq

2pi ) kommt.

HAL9000

13:58 Uhr, 21.02.2022

Tja, wir sind hier in Stochastik. Eigenschaften der Sinusfunktion wie Periodizität und Symmetrie u.a. solltest du schon kennen oder zumindest anderweitig in Erfahrung bringen, wenn du schon mit so einem Beispiel wie

P (\sin (X) < x)

hier aufkreuzt.

Ich wollte mit dem Beispiel auch nur ausdrücken, dass das mit der ÄQUIVALENTEN Ungleichungsumformung ernst zu nehmen ist.

Hinata aktiv_icon

14:37 Uhr, 21.02.2022

Natürlich weiß ich, dass die Sinus Funktion 2pi-periodisch ist und Punktsymetrisch um den Ursprung, damit verstehe ich die Rechnung leider trotzdem nicht.

HAL9000

14:51 Uhr, 21.02.2022

Da müssen wir wohl ganz klein anfangen, die Stochastik beiseite legen, und die Versäumnisse des Gymnasialunterrichts aufarbeiten:

Zeichne

y_{1} = \sin (x)

im Intervall

[0, 2 π]

, zeichne außerdem die Konstantfunktion

y_{2} = c

für irgendein

c

mit

0 < c < 1

dort ein und überlege dann, für welche

x

die Funktion

y_{1}

unterhalb der Konstantgerade

y_{2}

liegt. (*)

Und wenn du die Antwort darauf immer noch nicht weißt, dann erstelle wenigstens ein solches Bild (*), auf dessen Grundlage wir dann weiter diskutieren können.

Hinata aktiv_icon

20:08 Uhr, 21.02.2022

Gut, dass habe ich jetzt gemacht, komme aber nicht wirklich weiter. Mir ist bewusst dass

sin (- x) = - sin (x),

aber wann genau

sin (x)

jetzt Werte größer

c

annimmt weiß ich nicht

HAL9000

21:20 Uhr, 21.02.2022

Der erste Schnittpunkt der beiden Kurven

y_{1} = \sin (x)

sowie

y_{2} = c

liegt bei

x_{1} = \arcsin (c)

, der zweite aufgrund der Sinus-Symmetrie bei

x_{2} = π - x_{1} = π - \arcsin (c)

Jetzt schau auf die Skizze: Ausgehend von diesen Schnittpunkten liegt die

y_{1}

-Kurve unter der

y_{2}

-Gerade für

0 \leq x < x_{1}

sowie auch für

x_{2} < x \leq 2 π

. Und nichts anderes hatte ich oben auch geschrieben.

Hinata aktiv_icon

21:23 Uhr, 21.02.2022

Jetzt ist alles klar, danke!

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