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Dichte von X1 und X2 berechnen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

freddi11 aktiv_icon

17:58 Uhr, 22.12.2014

Hallo,

X 1

und

X 2

seinen unabhängige auf dem abgeschlossenen Intervall

- 1,1

normalverteilte Zufallsvariablen. Berechnen sie die Dichte von

X 1 + X 2

.

Das lässt sich ja eigentlich recht leicht mit der Faltungsformel machen.

Dichte von

X 1 + X 2

ist gleich

0,5

oder 0. Leider weiß ich nun jedoch nicht genau in welchem Intervall diese Dichte gleich

0,5

ist.

Könntet ihr mir da weiterhelfen?

DrBoogie aktiv_icon

18:42 Uhr, 22.12.2014

Was bedeutet "auf dem abgeschlossenen Intervall −1,1 normalverteilte Zufallsvariablen"?
Normalverteilung an sich ist auf kein Intervall beschränkt.

freddi11 aktiv_icon

10:46 Uhr, 23.12.2014

Das bedeutet sie besitzen eine Dichte

p

mit

p (u) = 0,5

für

u

€

(- 1,1)

und 0 sonst.

(. .)

soll mal für das abgeschlossene Intervall stehen, da ich nicht weiß wie ich die anderen Klammern setzen kann.

DrBoogie aktiv_icon

10:52 Uhr, 23.12.2014

Das ist aber keinesfalls Normalverteilung, das ist eine Gleichverteilung.
Normalverteilung ist etwas ganz Anderes.

DrBoogie aktiv_icon

10:57 Uhr, 23.12.2014

"Dichte von

X 1 + X 2

ist gleich

0, 5

oder

0

."

Wo hast Du das her? Dichten addieren sich nicht so einfach.

Aber zum Glück gibt's die Antwort in Wikipedia - wie fast immer. :-)
http://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Gleichverteilung,
unter "Summe gleichverteilter Zufallsvariablen"

freddi11 aktiv_icon

11:17 Uhr, 23.12.2014

Mit Faltungsformel ist die dichte von

X 1 + X 2

gleich

dem Integral von -unendlich bis unendlich über

p (y) \cdot p (x - y) d y

für

y

außerhalb von

(- 1,1)

ist ja eh alles null, also kann ich dieses Integral schon einschränken

dann muss ich gucken wann

p (x - y) = 0

Also:

- 1 \leq x - y \leq 1 \Rightarrow x + 1 \geq y \geq x - 1

also sind das die neuen Grenzen des Integrals

Nach Bildung der Stammfunktion kommt man drauf, dass sich die

x

wegkürzen und erhält wieder die Konstante

0,5

Nun weiß ich aber leider nicht in welchem Intervall diese Dichte dann

0,5

ist und wann 0

DrBoogie aktiv_icon

11:41 Uhr, 23.12.2014

"Nach Bildung der Stammfunktion kommt man drauf, dass sich die x wegkürzen und erhält wieder die Konstante 0,5"

Das verstehe ich nicht. Und auch Dein Problem nicht.
Wenn Du über Faltung gehst, musst Du einfach verschiedene Fälle unterscheiden, und zwar

x < - 2

- 2 \leq x < - 1

- 1 \leq x < 0

0 \leq x < 1

1 \leq x < 2

x \geq 2

.

Z.B. für

x

aus

[- 2, - 1)

hast Du

\int p (y) p (x - y) d y = 0 . 5^{2} \int_{- 1}^{x + 1} d x = 0.25 (x + 2)

.
Usw.

freddi11 aktiv_icon

11:52 Uhr, 23.12.2014

Ok. Vielen Dank.

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