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Dichte(funktion) beweisen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: dicht, Intervall, Verteilungsfunktion

mallie01 aktiv_icon

14:17 Uhr, 05.12.2012

Hallo,

habe ein grundsätzliches Verständnisproblem. Zwar ist mir schon klar um was es bei der Dichte geht, das mit den Intervallen etc. nur tu ich mir sehr schwer damit zu "hantieren".

Folgendes Problem:

Angabe: $f (x) =$ ${1 / x² x \geq 1 {0 s o n s t$

a) Zeigen Sie, dass f eine Dichte ist.

Nun ja es gilt doch 1= $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ soweit klar.

Stimmt dann folgender Ansatz?

$\int_{- \infty}^{1} 0 d x + \int_{1}^{x} (1 / x²) d x + \int_{1}^{\infty} 0 d x = 1$

sollte der so stimmen..wie soll ich denn nun beweisen, dass das stimmt, wenn ich nur eine Grenze des Intervalls angeben habe? :(

b) wäre noch: Berechne E(x) für eine Zufallsvariable X mit Dichte f.

Wie nun ohne Grenzen?

Blick da nicht durch, bitte bitte um Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

Bummerang

14:42 Uhr, 05.12.2012

Hallo,

falscher Ansatz! Der mittlere Summand hat als obere Grenze

+ \infty

und der letzte Summand ist zu viel!

mallie01 aktiv_icon

14:44 Uhr, 05.12.2012

Okay, danke. Aber wie komme ich nun auf die zweite Grenze um weiterrechnen zu können?

Bummerang

14:45 Uhr, 05.12.2012

Hallo,

auf welche zweite Grenze willst Du wo kommen?

mallie01 aktiv_icon

14:49 Uhr, 05.12.2012

Naja ich hab einmal die Intervallgrenze 1 meiner Dichtefunktion..aber um den Erwartungswert berechnen zu können brauche ich doch schon beide Intervallsgrenzen, nicht?

Bummerang

14:53 Uhr, 05.12.2012

Hallo,

"...aber um den Erwartungswert berechnen zu können brauche ich doch schon beide Intervallsgrenzen, nicht?"

Also wenn sich seit meiner Zeit nicht etwas grundlegendes geändert hat, dann ist der Erwartungswert ein Integral von

- \infty

bis

+ \infty

und da braucht höchstens die Stellen, an denen die Dichtefunktion nicht integrierbar ist, um das Integral in einzelne Summanden aufzuteilen. Da hier nur 1 eine solche Stelle ist, ergibt sich wie im Teil

a)

ein Integral von

- \infty

bis 1 und eines von 1 bis

+ \infty!

Irgendwo hast Du mit Deiner zweiten Grenze da einen Denkfehler!

mallie01 aktiv_icon

16:05 Uhr, 05.12.2012

Ja, sieht so aus.

\frac{:}{}

Hat jemand einen Lösungsweg für mich, wie ich auf den Erwarungswert komme?

Gerd30.1 aktiv_icon

17:49 Uhr, 05.12.2012

a) \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x = {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{+ \infty} = 1,

also ist

f

eine Dichtefunktion

b) E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x = \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x} d x = {[ln (x)]}_{1}^{+ \infty} = \infty

mallie01 aktiv_icon

16:43 Uhr, 06.12.2012

Vielen lieben Dank :-)

die rechenschritte sind recht nachvollziehbar..aber wie genau wird dadurch nun etwas bewiesen?

(wenn ich nur eine meiner Grenzen habe und die andere unendlich ist, wie folgt daraus, dass die gleichung

= 1

stimmt)

tut mir leid, versteh das iwie nicht so ganz

\frac{=}{}

Gerd30.1 aktiv_icon

09:54 Uhr, 07.12.2012

Ein Funktion

f (x)

ist eine, wenn

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1

ist.
Hier ist

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x = 0 + {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{+ \infty} = 1,

also ist

f

eine Dichtefunktion

Bummerang

10:14 Uhr, 07.12.2012

Hallo,

bei Dichtefunktionen gibt es zwei Forderungen: Die mit dem Integral, dessen Wert 1 ist und die, dass

f (x) \geq 0

für alle

x \in ℝ

. Das sollte man wenigstens mit erwähnen, dass auch das erfüllt ist! Insofern ist die Aussage:

Eine Funktion

f (x)

ist eine (hier fehlt wohl das Wort "Dichtefunktion"), wenn

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1

ist.

nicht richtig!

mallie01 aktiv_icon

11:07 Uhr, 08.12.2012

Okay, soweit alles klar, danke für die liebe Erklärung :)

Nur noch eine (hoffentlich) abschließende Frage.

Bei der Gleichung $[- (1 / x)] \begin{matrix} \infty \\ 1 \end{matrix} = 1$

Wenn ich die Grenzen nun einsetze ergibt sich [-(1/ $\infty$ )]-[-(1/1)]=1

Die Funktion geht doch gegen unendlich (oder?) und dann ziehe ich die untere Grenze ab, wieso komme ich dann auf 1?

Mir fehlt da irgendiwie die mathematische Logik.

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