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Die Breite der Gartentore

Schüler

Tags: 10 m Seitenlänge, breit, Gartentore auf parallelen Seiten, Quadratischer Garten, Rechts oben und links unten, Weg quer durch den Garten

Franz-Luwein aktiv_icon

18:59 Uhr, 22.07.2024

Wie könnte ich vorgehen, um folgende Frage zu beantworten?

Durch einen quadratischen Garten mit einer Seitenlänge von

10 m

verläuft quer ein Fußweg von

1 m

Breite. An den beiden Ecken links unten und rechts oben befinden sich an parallelen Seiten zwei Gartentore.

Ich soll ausrechnen, wie breit die Tore jeweils sein müssen.

Danke für Tipps.

Gruß

Franz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Roman-22

19:28 Uhr, 22.07.2024

Du könntest die Ähnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke (rot und grün) nutzen und das Verhältnis ihrer Katheten gleichsetzen.
Die Kathete

x

des roten Dreiecks mithilfe der Kathete

1 m

und der Hypotenuse

b

auszudrücken sollte dank Herrn Pythagoras ja kein großes Problem sein.

Zu deiner Kontrolle:

b = \frac{10}{99} \cdot (\sqrt{199} - 1) m \approx 1,32 m

Randolph Esser aktiv_icon

20:26 Uhr, 22.07.2024

Der Weg ist ein Parallelogramm.

Dessen Fläche ist also einmal durch

\sqrt{{(10 - b)}^{2} + 10^{2}}

und andererseits auch durch

10 b

gegeben.

Gleichsetzen und Durchrechnen gibt

\sqrt{{(10 - b)}^{2} + 10^{2}} = 10 b

\Leftrightarrow \sqrt{200 - 20 b + b^{2}} = 10 b

\Leftrightarrow 200 - 20 b + b^{2} = 100 b^{2}

\Leftrightarrow 99 b^{2} + 20 b - 200 = 0

\Leftrightarrow b^{2} + \frac{20}{99} b - \frac{200}{99} = 0

\Leftrightarrow b = \frac{- 10 + \sqrt{100 + 99 \cdot 200}}{99} = \frac{- 10 + \sqrt{19900}}{99} = \frac{10 (\sqrt{199} - 1)}{99} \approx 1,324

Franz-Luwein aktiv_icon

14:07 Uhr, 24.07.2024

Danke für die Hilfe.
Mittlerweile habe ich Lösung der Aufgabe mit Excel nachbauen können.
Es ist sogar möglich, die Wegbreite zu variieren und die Torbreite zu errechnen.

Randolph Esser aktiv_icon

15:57 Uhr, 24.07.2024

Du solltest den Weg besser mäandrierend
(sich wie ein Fluss windend) gestalten.
Diagonal durch den Garten wäre eine
ziemliche Bausünde, finde ich,
und davon gibt es ja eh schon viel zu viele...

Und dann noch mit Penrose-Muster-Pflasterung, yeah...