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Die Fibonacci-Zahlen (beweisführung)

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Sonstiges

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Fibonacci - Zahlen, Sonstiges, Vollständig Induktion

truemmerwolf aktiv_icon

13:35 Uhr, 19.09.2012

Die Fibonacci-Zahlen sind definiert:

F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}

wobei

F_{0} = 0, F_{1} = 1, F_{2} = 1

.

Beweisen sie die Folgenden Formeln für die Fibonacci-Zahlen mittels vollständiger Induktion.

a .)

\sum_{k = 0}^{n} F_{k} = F_{n + 2} - 1

b .)

\sum_{k = 1}^{n} F_{2 k - 1} = F_{2 n}

c .)

\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{2} = F_{n} \cdot F_{n} + 1

Mein Prof sagte es sein sehr einfach diese Formeln mit der vollständigen Induktion zu beweisen sobald man den Durchblick hat.
Und genau da ist mein Problem ich blicke nicht durch wie ich Fibonacci-Zahlen und die Summenformel bzw. vollständige Induktion in einen Topf werfen kann.

Ich würde mich sehr über Ansatzhilfen freuen die ruhig ein wenig detailierter sein dürfen, sprichwörtlich "Mathe für Dummis".
Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

13:46 Uhr, 19.09.2012

Fang doch einfach mal an mit dem Induktionsanfang. Der Induktionsschritt geht dann auch wie immer. Du musst halt nur die Definition von

{(F_{n})}_{n \geq 0}

kennen, aber die steht ja schon da.

truemmerwolf aktiv_icon

13:49 Uhr, 19.09.2012

Ja also von selbst komme ich ja bis zur Induktionsannahme aber ab da beginnt mein Problem , obwohl ich weiß wie

F_{n}

definiert ist seh ich einfach nicht wie ich das in

\sum_{k = 0}^{n} F_{k} = F_{n + 2} - 1

einbauen kann.

Shipwater aktiv_icon

13:57 Uhr, 19.09.2012

Die Induktionsannahme ist doch trivial. Die einzige wirkliche Arbeit ist der Induktionsschluss. Wie sieht dieser denn nun bei dir aus?

truemmerwolf aktiv_icon

14:06 Uhr, 19.09.2012

zuerst gehe ich davon aus das jede natürliche Zahl

n

einen Nachfolger hat

n + 1

und ich versuche nun zu prüfen ob das, was für

n

galt auch für

n + 1

gilt.

\sum_{k = 0}^{n + 1} F_{k} = \sum_{k = 0}^{n} F_{k} + F_{n + 1}

Zumindest nehme ich an das das richtig ist, denn ich splitte ja das

n + 1

von der Summenformel ab und addiere es.

Da

\sum_{k = 0}^{n} F_{k} = F_{n + 2} - 1

ist setze ich es ein und bekomme

F_{n + 2} - 1 + F_{n + 1}

war es bis jetzt richtig ?

Shipwater aktiv_icon

15:01 Uhr, 19.09.2012

Genau und jetzt noch

F_{n + 1} + F_{n + 2}

laut Definition von

{(F_{n})}_{n \geq 0}

zusammenfassen und das war es schon.

truemmerwolf aktiv_icon

15:11 Uhr, 19.09.2012

ok dann würde das so aussehen

F_{n + 2} + F_{n + 1} - 1 = F_{n + 3} - 1

ok jetzt habe ich es erkannt. Ich denke ich brauche noch 2 jahre bis ich sowas auf anhieb erkenne, aber wenigstens verstehe ich es.
Danke für die Hilfe.

Shipwater aktiv_icon

15:19 Uhr, 19.09.2012

Da spielt halt auch immer Erfahrung eine Rolle. Aber es war ja auch von vorneherein schon klar, dass man die Definition der Fibonacci-Folge hier irgendwo anwenden muss.
Die

b)

und

c)

gehen dann eigentlich genauso. Wobei es bei der

c)

wohl

F_{n} \cdot F_{n + 1}

heißen sollte. Da hast du vergessen Klammern zu setzen.

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