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Die Lage von Punkt und Ebene; Parameter a gesucht

Schüler Gymnasium,

Tags: eben, Koordinaten, Koordinatenform, Lage, Lagebeziehung, Normalenform, Parameter, Punkt, punktprobe

Jorani aktiv_icon

19:27 Uhr, 26.01.2014

Hallo,

ich bräuchte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene

E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0

Für welchen Wert des Parameters a liegen die Punkte

D (a, a + 3, 3)

bzw.

F (a, 2 a, 3)

in der Ebene?

Meine Ansätze:

[(\begin{matrix} a \\ a + 3 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0

(\begin{matrix} a \\ a + 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0

(\begin{matrix} a \\ a + 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) - 3 = 0

(\begin{matrix} a \\ a + 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = 3

a - a + 3 + 2 \cdot 3 = 3

a - a = - 6

?

Wie müsste ich weiter vorgehen, oder ist mein Ansatz komplett falsch?

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Liebe Grüße
Jorani

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

19:31 Uhr, 26.01.2014

in der vorletzten Zeile hast du einen Vorzeichenfehler gemacht
es sollte heißen:

a - a - 3 + 6 = 3

3 = 3

d . h

. der Punkt liegt für alle

a

in der Ebene

Ma-Ma aktiv_icon

19:32 Uhr, 26.01.2014

DA kann etwas nicht stimmen

. .

.

Fasse zuerst die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen.
Danach bilde das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor.

LG Ma-Ma

Jorani aktiv_icon

19:39 Uhr, 26.01.2014

Vielen Dank für eure Antworten :-)

Leider kann ich

3 = 3

jedoch nicht nachvollziehen

: (

Als Koordinatenform erhalte ich:

x - y + 2 z = 3

mit dem Stützvektor eingesetzt:

a - a + 3 + 2 \cdot 3 = 3

. .

. ?

michael777 aktiv_icon

19:41 Uhr, 26.01.2014

wenn man die beiden Vektoren in der eckigen Klammer zusammenfasst dann erhält man folgendes Skalarprodukt:

(\begin{matrix} a - 2 \\ a + 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0

a - 2 - a - 2 + 4 = 0

0 = 0

deine Koordinatenform ist richtig
beim Einsetzen des Punktes, ist dir ein Vorzeichenfehler passiert, hast du den x_2-Wert des Punktes in Klammern eingesetzt?

Punkt eingesetzt:

a - (a + 3) + 2 \cdot 3 = 3

- 3 + 6 = 3

3 = 3

Ma-Ma aktiv_icon

19:43 Uhr, 26.01.2014

Genau das meinte ich.

0 = 0

Variable a taucht nicht mehr auf, dass heisst "salopp", welchen Wert a hat ist vollkommen egal

...

Jorani aktiv_icon

19:45 Uhr, 26.01.2014

Jetzt verstehe ich das! Vielen Dank euch beiden :-)
Ich hatte mich aus der Aufgabenstellung heraus nur gewundert, da explizit nach einem Wert für den Parameter a gefragt wird...