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Die geometrischen und algebraischen Vielfachheit
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenwert
 
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Hallo zusammen! Wenn ich das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der Matrix berechne, bekomme ich das charakteristische Polynom: λ^2-2*λ-8 die Eigenwerte: λ_1=-2 λ_2=4 die Eigenvektoren Wie könnte ich vorgehen, die geometrische und algebraische Vielfalt von Eigenwerten zu lösen? Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Die Eigenwerte sind ja die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, und die Vielfachheit einer solchen Nullstelle ist dann auch die algebraische Vielfachheit dieses Eigenwerts. Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert , und die ist stets der algebraischen Vielfachheit. Sie ist aber auch immer mindestens 1. Wenn also sämtliche Eigenwerte algebraische Vielfachheit 1 haben, dann sind auch die geometrischen Vielfachheiten alle gleich 1. D.h., wirklich nur in dem Fall, wo es Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit gibt, sind genauere Untersuchungen fällig, und diese anhand der Originalmatrix, denn das charakteristische Polynom allein ist dann nicht mehr aussagekräftig. |
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Algebraische Vielfachheit ist die Anzahl einer Nullstelle, wie oft sie vorkommt. Beispiel: Eigenwerte: und Dann ist und Geometrische Vielfachheit: Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten, Dimension des Eigenraums beispielsweise |
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In meinem Fall habe ich zwei Eigenwerte und zwar Bedeutet das, dass die Algebraische Vielfachheit 2 ist oder ? |
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Nein. PRO Eigenwert bestimmst du die algebraische UND die geometrische Vielfachheit. Du schaust dir also alles getrennt an. Deine Eigenwerte sind und kommt nur einmal vor kommt nur einmal vor Jetzt schnappst du dir und berechnest die Dimensions des Eigenraums der zu dem Eigenwert gehört Das gleiche dann mit Am Einfachsten ist es, das charakterische Polynom in (verschiedene) Linearfaktoren zu zerlegen. Dann kannst du einfach (sofern es sich komplett zerlegen lässt!) die Potenz als algebraische Vielfachheit sehen |
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Ah okay danke!, jetzt ist mir klar und als Eigenvektoren für ist und das heißt, dass die geometrische Vielfachheit=1 ist, weil es nur 1 Eigenvektor für gibt, oder wieder Denkfehler ? |
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Die Formulierung "es gibt nur einen Eigenvektor" ist generell falsch, und sollte in "es gibt nur einen linear unabhängigen Eigenvektor" geändert werden. Ansonsten habe ich mich zur algebraischen und geometrischen Vielfachheit von Eigenwerten, die nur EINFACHE Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind (was hier bei dieser Aufgabe der Fall ist), oben sehr deutlich geäußert - aber mein Beitrag war dir vermutlich zu lang, um ihn zu lesen. |
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Erstens danke dir, dass du mich korrigiert hast und zweitens dein Beitrag war mir nicht zu lang, um ihn zu lesen. Aber wie könnte man sagen dass geometrische Vielfachheit 1 ist, wenn Algebraische Vielfachheit ist ? Ist das eine feste Aussage ? |
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<2 und zugleich >0 bedeutet bei ganzen Zahlen =1. Und "die geometrische Vielfachheit ist der algebraischen Vielfachheit" bezogen auf denselben Eigenwert gilt IMMER, ja. |
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dann algebraischer Vielfachheit geometrische Vielfachheit= 1 geometrische Vielfachheit=algebraischer Vielfachheit und matrix ist diagonalisierbar oder ? |
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Ja. Das kurze, geraffte Resümee ist: Besitzt die charakteristische Gleichung nur einfache Nullstellen, ist die Matrix immer diagonalisierbar. Damit wird schon der größte Teil aller auftretenden Fälle bereits erfasst. P.S.: Die Umkehrung gilt nicht, d.h., es gibt durchaus diagonalisierbare Matrizen mit Mehrfachnullstellen der charakteristischen Gleichung - das sieht man z.B. an der -dimensionalen Einheitsmatrix, die besitzt nur den einen Eigenwert der Vielfachheit , und die ist offensichtlich diagonalisierbar, da sie selbst schon diagonal ist. ;-) |
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Ja Perfekt, ich danke dir noch mal für die Erklärung! |
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