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Die letzte Nuss: div(rot(G))=0, grad,Vektorprodukt

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Partielle Differentialgleichungen, Skalarprodukt, Vektorraum

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16:00 Uhr, 18.10.2010

Hallo ihr lieben und hilfreichen Mathefreunde, der Titel sagt es bereits: Dies ist die letzte Nuss, die ich zu knacken gedencke, bevor meine 3 Stunden Klausur morgen um

16 : 45

Uhr beginnt. Dazu werde ich diesmal den gesamten Fragetext "Wort für Wort" abschreiben. Es handelt sich um eine Klausuraufgabe von vor 2 Jahren - los gehts! :-)

8 .)

a)

Es sei

G (x, y, z) = (\begin{matrix} G_{1} (x, y, z) \\ G_{2} (x, y, z) \\ G_{3} (x, y, z) \end{matrix})

ein räumliches Vektorfeld mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

G_{1}, G_{2}, G_{3}

. Zeigen Sie: div ( rot(G)

) = 0!

b)

Es seinen

ϕ_{1} (x, y, z) = y z^{2}

und

ϕ_{2} (x, y, z) = x^{2} z

räumliche Skalarfelder.

b_{1})

Berechnen Sie die Gradienten von

ϕ_{1}

und

ϕ_{2}

b_{2})

sowie das Vektorprodukt

A = \nabla ϕ_{1} \times \nabla ϕ_{2}!

b_3)Bestimmen Sie des weiteren die Rotation von A
b_4)und entscheiden Sie, ob das Rotationsfeld von A quellenfrei ist!

Hinweis:

\nabla

bezeichnet den Vektor

(\begin{matrix} \frac{δ}{δ x} \\ \frac{δ}{δ y} \\ \frac{δ}{δ z} \end{matrix})

Soso :-D) das ist btw. eine Aufgabe für 9 Punkte und entspricht somit rund

\frac{1}{6}

der erreichbaren Gesamtpunktzahl.

Was habe ich bisher gemacht?

a)

Hier geht es um einen Beweis/Herleitung, der sich im Papula "Mathematik für Naturwissenschaftler"

[

Band

3, I

Vektoranalysis, Seite

85]

finden läßt. Das Formelgewimmel schenke ich mir aus schreibfaulheit; nur soviel: ein quellenfreies Vektorfeld läßt sich stehts als Rotation eies Vektorfeldes

\vec{G}

darstellen, da gilt:
div

(\vec{F}) = 0 \Rightarrow \vec{F} =

rot

(\vec{G})

\vec{G}

heißt Vektorpotential und ist bis auf den Gradienten einer skalaren Funktin

ϕ

eindeutig bestimmt.
Umgekehrt ist eibn Wirbelfeld

\vec{F} =

rot

(\vec{G})

stehts quellenfrei:

\vec{F} =

rot(vec(G)

) \Rightarrow

div

(\vec{F}) =

div ( rot

(\vec{G})) = 0

:-D)

b_{1})

Jetzt wirds hakelig. Ich verstehe den Aufgabentext so, dass

ϕ_{1} = (\begin{matrix} y z^{2} \\ y z^{2} \\ y z^{2} \end{matrix})

und

ϕ_{2} = (\begin{matrix} x^{2} z \\ x^{2} z \\ x^{2} z \end{matrix})

ist.
Liege ich richtig? Wenn ja bedeutete das für

b_{1})

grad

(ϕ_{1}) = (\begin{matrix} 0 \\ z^{2} \\ 2 y z \end{matrix})

und grad

(ϕ_{2}) = (\begin{matrix} 2 x z \\ 0 \\ x^{2} \end{matrix})

Richtig?

ich glaube bis hierher genügt erstmal, wenn das richtig ist wrde ich den Rest zeigen. Problem, warum ich überhaupt frage ist, weil ab hier das Vektor(kreuz)produkt mit

n a p l a

Operator NULL wird und damit auch der ganze Rest immer NULL wird und das erscheint mir merkwürdig.

1000fachen Dank an diejenigen, die sich immer und immer wieder aufraffen und solchen (spar)Leuchten wie mir Hilfe zukommen lassen! Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

smoka

11:37 Uhr, 19.10.2010

Hallo,

zu Deiner Frage zu b) Nein, Du liegst nicht richtig.

ϕ

ist ein SKALARfeld, das heißt so, weil es ein Abbildung von

ℝ^{n} \to ℝ

ist. die Funktionswerte sind also Skalare, keine Vektoren.
Seltsamerweise hast Du die Gradienten richtig berechnet...
Man kann eigentlich keinen Gradienten auf ein Vektorfeld anwenden, sondern eben nur auf Skalarfelder.

Gruß,

smoka

PS: Ihr habt aber seltsame Klausurtermine... Das Semester hat doch gerade erst begonnen bzw. für Manche noch nichtmal begonnen?!

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