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Differentialgleichung 1. Ordnung mit Substitution

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Momfr3d aktiv_icon

19:09 Uhr, 19.07.2017

Ich suche die Lösung zu folgender Differenzialgleichung:

z' (t) = - z (t) (β (t) - v (t) + v (t) z (t)), z (0) = 1

als Hinweis habe ich die Substitution:

u (t) = \frac{1}{z (t)}

Wäre es richtig, wenn ich jetzt die Ableitung von

u (t)

berechne und versuche die Gleichung in die Form:

y' (t) + a (t) y (t) = f (t)

zu bringen um dann meine Formel anzuwenden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:38 Uhr, 19.07.2017

Hallo
wenn die Substitution klappen würde dann musst du einfach

u' = - \frac{1}{z^{2}} \cdot z'

bilden nach

z'

auflösen und alle

z

und

z'

durch

u

und

u'

ersetzen.
soweit ich sehe hilft das aber nicht die Dgl auf eine einfache Form zu bringen.
hast du die Dgl und die Substitution richtig aufgeschrieben?
Gruß ledum

Momfr3d aktiv_icon

19:42 Uhr, 19.07.2017

Die DGL und Substitution sind richtig. Vielleicht muss man

u (t) = \frac{1}{z (t)}

nach

z (t) = \frac{1}{u (t)}

umformen und dann die Ableitung berechnen.

ledum aktiv_icon

20:23 Uhr, 19.07.2017

Hallo
das ergibt dasselbe.

z' = - \frac{1}{u^{2}} \cdot u'

Gruß ledum

Momfr3d aktiv_icon

22:06 Uhr, 19.07.2017

Wenn man

z'

einsetzt erhält man doch:

- \frac{1}{z^{2}} \cdot z' = \frac{z (β - v + v \cdot z)}{z^{2}} = \frac{β - v + v \cdot z}{z} = \frac{β - v}{z} + v = (β - v) \cdot u + v

\Rightarrow \frac{d u}{d t} = (β - v) \cdot u + v

\Leftrightarrow \frac{1}{u} d u = (β - v) d t + \frac{v}{u} d t

Jetzt ist nur noch das

u

auf der rechten Seite im weg.

ledum aktiv_icon

22:14 Uhr, 19.07.2017

Hallo
aber das verhindert eine einfache Lösung vorher war ja bei

z \frac{'}{z}

auch nur das

v \cdot z

im Weg!
ich sehe nicht, wie das

u = \frac{1}{z}

helfen soll.
wenn du die Funktionen

v

und

β

kennst , frag doch mal Wolfram

α

Gruß ledum

Momfr3d aktiv_icon

22:33 Uhr, 19.07.2017

Wolfram gibt mir:

u (t) = c_{1} e^{t (b - v)} + \frac{v}{v - b}

und mit Anfangswert:

u (t) = \frac{b e^{t} (b - v) v}{b - v}

Zusätzlich steht dort, dass es sich um eine separable Funktion handelt.
Ich weiß aber immer noch nicht wie man darauf kommen soll.

pwmeyer aktiv_icon

09:03 Uhr, 20.07.2017

Hallo,

Deine Differentialgleichung für

u

ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Dafür gibt es "fertige" Lösungsformeln.

Bei Wofram-alpha ist wohl

v

nur als Konstante angesehen worden.

Gruß pwm

Momfr3d aktiv_icon

14:04 Uhr, 20.07.2017

Die Lösung der DGL ergibt sich dir die Form

u' = g (u (t)) \cdot f (t)

für

g (u (t)) = (b - v) \cdot u + v, f (t) = 1

Dafür haben wir eine Formel.

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