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Differentialgleichung mit integrierendem Faktor

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

stefan111 aktiv_icon

23:32 Uhr, 04.06.2011

Schon wieder eine Frage zu einer Differentialgleichung; diesmal eine mit einem integrierendem Faktor;

(x^{2} + y) d x - x * d y = 0

Habe bei wikipedia gelesen, daß ein integrierender Faktor das Gleiche ist wie ein Eulerscher Multiplikator...und dieser kommt bei nicht exakten (inexakten) Differentialgleichungen zur Anwendung.

Allerdings weiß ich die Unterschiede zwischen diesen beiden Typen (exakten und inexakten) nicht bzw. auch nicht, wie man die Inexakte in weiterer Folge löst...

Danke, schöne Grüße

Yokozuna aktiv_icon

20:59 Uhr, 05.06.2011

Hallo,

wenn man von einer impliziten Funktion der Form

u (x, y) = 0

das totale Differential bildet, erhält man eine totale oder exakte Differentialgleichung:

d u (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} u (x, y) \cdot d x + \frac{\partial}{\partial y} u (x, y) \cdot d y = 0

oder wenn man

\frac{\partial}{\partial x} u (x, y) = p (x, y)

und

\frac{\partial}{\partial y} u (x, y) = q (x, y)

setzt:

p (x, y) \cdot d x + q (x, y) \cdot d y = 0

In der Regel setzt man voraus, daß auf

u (x, y)

der Satz von Schwarz anwendbar ist, so daß gilt:

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}

bzw.

\frac{\partial}{\partial x} q (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} p (x, y)

Dies ist das Kriterium für eine exakte oder totale Differentialgleichung. Ist für eine Differentialgleichung

p (x, y) \cdot d x + q (x, y) \cdot d y = 0

das Kriterium

\frac{\partial}{\partial x} q (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} p (x, y)

erfüllt, handelt es sich um eine exakte Differentialgleichung, aus der man

u (x, y)

gewinnen kann. Gilt dagegen

\frac{\partial}{\partial x} q (x, y) \neq \frac{\partial}{\partial y} p (x, y),

handelt es sich nicht um eine exakte Differentialgleichung.
Bei Deinem Beispiel

(x^{2} + y) \cdot d x - x \cdot d y = 0

handelt es sich nicht um eine totale Differentialgleichung, denn es ist

\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y) = 1

und

\frac{\partial}{\partial x} (- x) = - 1,

also

\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y) \neq \frac{\partial}{\partial x} (- x)

In diesem Fall muß man zuerst einen sogenannten integrierenden Faktor

μ (x, y)

finden, so daß die Differentialgleichung

μ (x, y) \cdot p (x, y) \cdot d x + μ (x, y) \cdot q (x, y) \cdot d y = 0

zu einer totalen Differentialgleichung wird. Es muß also gelten:

\frac{\partial}{\partial y} (μ (x, y) \cdot p (x, y)) = \frac{\partial}{\partial x} (μ (x, y) \cdot q (x, y))

oder

\frac{\partial μ}{\partial y} \cdot p + μ \cdot \frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial μ}{\partial x} \cdot q + μ \cdot \frac{\partial q}{\partial x}

Auf Dein Beispiel angewandt heißt das:

\frac{\partial μ}{\partial y} \cdot (x^{2} + y) + μ \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y) = \frac{\partial μ}{\partial x} \cdot (- x) + μ \cdot \frac{\partial}{\partial x} (- x) \Rightarrow

\frac{\partial μ}{\partial y} \cdot (x^{2} + y) + μ = \frac{\partial μ}{\partial x} \cdot (- x) + μ \cdot (- 1) \Rightarrow

\frac{\partial μ}{\partial x} \cdot x + \frac{\partial μ}{\partial y} \cdot (x^{2} + y) + 2 \cdot μ = 0

Dieses Problem schaut zunächst auch nicht einfacher aus, als das ursprüngliche. Deshalb versuchen wir folgende Vereinfachung: wir nehmen an, daß

μ

nur von

x

abhängt, also

μ = μ (x)

. Dann wird

\frac{\partial μ}{\partial y} = 0

und wir erhalten:

\frac{\partial μ}{\partial x} \cdot x + 2 \cdot μ = 0

oder

\frac{d μ}{d x} \cdot x + 2 \cdot μ = 0

Trennung der Variablen liefert:

\frac{d μ}{μ} = - 2 \frac{d x}{x} \Rightarrow ln (μ) = - 2 \cdot ln (x) = ln (\frac{1}{x^{2}}) \Rightarrow μ = \frac{1}{x^{2}}

Wenn wir damit Deine Differentialgleichung multiplizieren, erhalten wir:

\frac{1}{x^{2}} \cdot (x^{2} + y) \cdot d x - \frac{1}{x^{2}} \cdot x \cdot d y = (1 + \frac{y}{x^{2}}) \cdot d x - \frac{1}{x} \cdot d y = 0

Du kannst jetzt selbst nachprüfen, daß dies jetzt eine exakte Differentialgleichung ist.

Viele Grüße
Yokozuna

stefan111 aktiv_icon

01:21 Uhr, 07.06.2011

Ah, super, danke für die Antwort!;
mir ist allerdings aufgefallen, daß ich einen Teil der Angabe vergessen habe, nämlich daß die Differentialgleichung einen integrierenden Faktor der Form

μ (x, y)

besitzt, tut mir leid.

Allerdings habe ich so eine bessere Erklärung, wie das wirklich funktioniert...
ich versteh es allerdings noch nicht....

ich werde einfach mal mit der Trennung der Variablen anfangen; die verstehe ich nämlich auch bereits nicht...

\frac{d μ}{μ} * x + 2 μ = 0

dann komme ich auf

\frac{d μ}{μ} = 2 * \frac{μ}{x}

1.) Warum wird jetzt das

μ

durch dx ersetzt?...vermutlich wegen der Annahme, die getroffen wurde:

μ = μ (x)

...aber da steht ja noch nichts von einem dx?...

2.) weiters verstehe ich auch nicht, wie man dann zum ln kommt;

3.) ich verstehe auch nicht, wie man dann zur Multiplikation der Differentialgleichung kommt...das entspricht aber dem Nachweis, daß es sich um eine totale Differentialgleichung handelt, oder?

Danke, schöne Grüße

Yokozuna aktiv_icon

12:18 Uhr, 07.06.2011

Also, bei Differentialgleichungen der Form

p (x, y) \cdot d x + q (x, y) \cdot d y = 0

geht man folgendermaßen vor:

1. Ist

\frac{\partial}{\partial y} p (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} q (x, y),

dann handelt es sich um eine exakte oder totale Differentialgleichung. In diesem Fall gehe zu Punkt 3.
2. Finde einen integrierenden Faktor

μ (x, y),

so daß

μ (x, y) \cdot p (x, y) \cdot d x + μ (x, y) \cdot q (x, y) \cdot d y = 0

eine exakte Differentialgleichung ist.
3. Löse die exakte Differentialgleichung.

Für Dein Problem

(x^{2} + y) \cdot d x - x \cdot d y = 0

hatte ich ja schon in meiner ersten Antwort gezeigt, daß es sich hierbei nicht um eine exakte Differentialgleichung handelt, denn es ist

\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y) = 1

und

\frac{\partial}{\partial x} (- x) = - 1,

also

\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y) \neq \frac{\partial}{\partial x} (- x)

.

Deshalb müssen wir jetzt einen integrierenden Faktor finden, der die gegebene Differentialgleichung zu einer exakten macht. Ich multipliziere also meine ursprüngliche Differentialgleichung mit einer Funktion

μ = μ (x, y) :

μ (x, y) \cdot p (x, y) \cdot d x + μ (x, y) \cdot q (x, y) \cdot d y = 0

Damit dies eine exakte Differentialgleich ist, muß gelten:

\frac{\partial}{\partial y} (μ (x, y) \cdot p (x, y)) = \frac{\partial}{\partial x} (μ (x, y) \cdot q (x, y))

Für Deine gegebene Differentialgleichung habe ich das schon in meiner ersten Antwort gemacht und das Endergebnis war:

\frac{\partial μ}{\partial x} \cdot x + \frac{\partial μ}{\partial y} \cdot (x^{2} + y) + 2 \cdot μ = 0

Das ist jetzt eine partielle Differentialgleichung für

μ

und nachdem Du gerade die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen lernst, für Dich (und wahrscheinlich auch für mich) unlösbar. Um trotzdem eine Funktion

μ

zu finden, macht man deshalb Annahmen, die das Problem vereinfachen. Man nimmt an, daß die Funktion

μ

nur von einer der beiden Variablen abhängt, also

μ = μ (x)

oder

μ = μ (y)

(wenn keine der beiden Annahmen zum Erfolg führt, dann ist man wieder bei der partiellen Differentialgleichung). Da die Klammer bei

\frac{\partial μ}{\partial y}

komplizierter aussieht, als das

x

bei

\frac{\partial μ}{\partial x},

beginne ich mit der Annahme

μ = μ (x)

. Damit wird

\frac{\partial μ}{\partial y} = 0

und es bleibt übrig:

\frac{d μ}{d x} \cdot x + 2 \cdot μ = 0

(ich kann jetzt

d

statt

\partial

schreiben, da

μ (x)

ja jetzt nur noch von einer Variablen abhängt)
Das ist jetzt eine gewöhnliche Differentialgleichung für

μ,

die wir durch Trennung der Variablen lösen können:

\frac{d μ}{d x} \cdot x + 2 \cdot μ = 0 \Rightarrow \frac{d μ}{d x} \cdot x = - 2 \cdot μ \Rightarrow \frac{d μ}{μ} = - 2 \cdot \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{d μ}{μ} = - 2 \cdot \int \frac{d x}{x} \Rightarrow ln (μ) = - 2 \cdot ln (x) = ln (x^{- 2}) = ln (\frac{1}{x^{2}}) \Rightarrow

μ (x) = \frac{1}{x^{2}}

(ln (μ)

ist ja Stammfunktion von

\frac{1}{μ}

und

ln (x)

ist Stammfunktion von

\frac{1}{x})

Damit haben wir unseren integrierenden Faktor gefunden. Multiplizieren wir die Differentialgleichung damit, erhalten wir:

\frac{1}{x^{2}} \cdot (x^{2} + y) \cdot d x - \frac{1}{x^{2}} \cdot x \cdot d y = 0 \Rightarrow (1 + \frac{y}{x^{2}}) \cdot d x - \frac{1}{x} \cdot d y = 0

Prüfen wir, ob es sich jetzt um eine exakte Differentialgleichung handelt. Es ist:

\frac{\partial}{\partial y} (1 + \frac{y}{x^{2}}) = \frac{1}{x^{2}}

und

\frac{\partial}{\partial y} (- \frac{1}{x}) = \frac{1}{x^{2}},

also gilt

\frac{\partial}{\partial y} (1 + \frac{y}{x^{2}}) = \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{1}{x}) = \frac{1}{x^{2}}

Damit haben wir nun eine exakte Differentialgleichung.

Viele Grüße
Yokozuna

stefan111 aktiv_icon

15:50 Uhr, 07.06.2011

Danke für die Antwort!...
Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden; falls noch Fragen auftauchen, melde ich mich noch einmal.

Danke, schne Grüße

stefan111 aktiv_icon

18:18 Uhr, 07.06.2011

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