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Differentialgleichung, sin^2 als Störfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Differentialgleichung

Broetchen93 aktiv_icon

11:32 Uhr, 22.04.2016

Hallo zusammen. Ich habe ein Problem mit dem Lösen der folgenden Differentialgleichung:

y' + y = {sin}^{2} (x)

y_{h} (x) = A \cdot e^{- x}

{sin}^{2} (x)

ist ja

= sin (x) \cdot sin (x)

Jetzt möchte ich den Ansatz finden: Bei Multiplikationen multipliziert man ja auch einfach die Ansätze. Laut Buch sollte das ganze dann lauten:

y_{p} (x) = [B \cdot sin (x) + C \cdot cos (x)] \cdot [D \cdot sin (x) + E \cdot cos (x)]

Nach dem ausmultiplizieren: (ich habe jeweils 2 multiplizierte Konstanten zu einer zusammengefasst)

y_{p} (x) = B \cdot {sin}^{2} (x) + C \cdot sin (x) \cdot cos (x) + D \cdot sin (x) \cdot cos (x) + E \cdot {cos}^{2} (x)

Das leite ich jetzt ab:

y_{p}' (x) = 2 \cdot B \cdot cos (x) \cdot sin (x) + C \cdot {cos}^{2} (x) - C \cdot {sin}^{2} (x) + D \cdot {cos}^{2} (x) - D \cdot {sin}^{2} (x) - 2 \cdot E \cdot cos (x) \cdot sin (x)

Das habe ich dann nach Funktionen sortiert:

cos (x) \cdot sin (x) \cdot [2 \cdot B - 2 \cdot E + C + D] + {cos}^{2} (x) \cdot [C + D + E] + {sin}^{2} (x) \cdot [- C - D + B]

So, jetzt habe ich ein Problem.
Ich habe so gesehen zu wenige Funktionen, um die Variablen ausrechnen zu können.
Wenn ich das aber bei Matlab eingebe, bekomme ich eine voll definierte Funktion als Ergebnis(bis auf das A von

y_{h} (x)

.
Ich kann aber keinen Fehler entdecken.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Broetchen93 aktiv_icon

11:43 Uhr, 22.04.2016

Achso als Überprüfung: Das spuckt Matlab aus:

C 1 \cdot e^{- x} - \frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot cos (2 \cdot x - {tan}^{- 1} (2))}{10} + \frac{1}{2}

Ich denke mal, als Endergebnis würde ich das nicht in dieser Form herausbekommen, aber man kann es ja vergleichen.

Danke schonmal

ledum aktiv_icon

13:12 Uhr, 22.04.2016

Hallo
der einfacher Ansatz ist

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} \cdot (cos (2 \cdot x) - 1)

deinen Ansatz hab ich nicht kontrolliert, was zuerst auffällt du kannst in

y_{p} C + D

C_{1}

zusammenfassen
vielleicht hast du dann genug Gleichungen

Gruß ledum

Broetchen93 aktiv_icon

13:27 Uhr, 22.04.2016

Erstmal vielen Dank, dass du dich auch dieses Problems annimmst.

Zum zusammenfassen: Meinst du diesen Abschnitt:

C

⋅

sin (x)

⋅

cos (x) + D

⋅

sin (x) cos (x)

Und das ist dann

= z . B

C_{1} \cdot sin (x) \cdot cos (x)

?
Ich werde es auch mal mit deinem Ansatz durchrechnen, den habe ich in der Formelsammlung so nicht wiedergefunden. Wo befindet sich bei deinem Ansatz denn die Konstante?

Broetchen93 aktiv_icon

11:15 Uhr, 23.04.2016

<Bump>
Ich rufe nochmal nach HIlfe
Ich habe es mit dem zusammenfassen probiert, aber es kamen die Falschen Werte für die Konstanten heraus. Deswegen denke ich, dass ich das falsch zusammengefasst habe.
Hat sicher was mit den Sinus und Cosinus-Beziehungen zu tun.
Bei deinem Ansatz fehlt mir die Constante.

ledum aktiv_icon

22:04 Uhr, 23.04.2016

Hallo
ich hatte keinen Ansatz, nur die rechte Seite umgeformt der Ansatz wäre wäre

y_{p} =

Bcos2x+Csin2x+D
aber wenn du in deinem Ansatz

C + D = C_{1}

setz muss auch das richtige rauskommen. warum zeigst du nicht deine Rechnung?
Gruß ledum

Broetchen93 aktiv_icon

22:35 Uhr, 23.04.2016

Hi, die Zusammenfassung war bei meiner Rechnung der Clou an der Sache, danach konnte ich es vorhin problemlos lösen.
Ich habe dann

B \cdot {sin}^{2} (x) + C_{1} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + E \cdot {cos}^{2} (x)

Das ganze in ein Gleichungssystem sortiert sieht dann so aus: I:

2 B - 2 E + C_{1} = 0

II:

0 B + E + C_{1} = 0

III:

B + 0 E - C_{1} = 1

Ergebnisse lauten dann:

B = \frac{3}{5} E = \frac{2}{5} C_{1} = - \frac{2}{5}

Und die Funktion inklusive des Anfangswertproblems:

y (0) = 1 \Rightarrow y (x) = \frac{3 \cdot e^{- x}}{5} + \frac{3 \cdot {sin}^{2} (x)}{5} - \frac{2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)}{5} + \frac{2 \cdot {cos}^{2} (x)}{5}

Vielen Dank nochmal für den Denkanstoß!

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