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Differentialgleichung und Bewegungsgleichung

Universität / Fachhochschule

Integration

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Bewegungsgleichung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Integration

virus01 aktiv_icon

16:52 Uhr, 13.01.2011

Hallo,

Ich habe folgende Gleichungen für die Beschleunigung eines Skifahrers aufgestellt und möchte nun daraus eine Bewegungsgleichung herleiten.

Ich habe die folgenden Gleichungen:

$\ddot{x} (t) = \dot{v} (t) = a$

$a = g \times \sin (α) - μ \times g \times \cos (α) - k_{w} \times v²$

$v = v + a \times d t$

$x = x + v \times d t$

( a=Beschleunigung, v=Geschwindigkeit , t= Zeit, kw= Luftreibungskoeffiezient, mü=Gleitreibungskoef., g=Erdbeschl.)

Dazu habe ich noch die DFG:

$v (t + d t) = v (t) + d v$

$x (t + d t) = x (t) + v (t) \times d t$

Wie kann ich jetzt daraus eine Bewegungsgleichung herleiten, also x(t) oder auch v(t) ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

19:44 Uhr, 13.01.2011

Hallo,

sieh vielleicht mal nach, was eine Bewegungsgleichung ist, denn da braucht man nicht mehr viel herzuleiten. Das ist einfach eine Gleichung der Form:

\vec{F} = m \cdot \frac{d \vec{p}}{d t}

x(t) und v(t) bekommst Du als Lösung der DGL. Dazu würde ich es mit dem Verfahren "Variataion der Konstanten" versuchen.

Gruß,

smoka

virus01 aktiv_icon

20:46 Uhr, 13.01.2011

Leider verstehe ich nicht so ganz genau was du meinst.

Problem ist wir haben noch keine DFG gemacht. Trotzdem haben wir so eine Aufgabe bekommen. Ich werde mir lieber mal selber die DFG usw. beibrigen und dann die Aufgabe nocheinmal versuchen.

smoka

21:05 Uhr, 13.01.2011

Ok, sieh Dir am besten mal die Methoden "Trennung der Veränderlichen" und "Variation der Konstanten" an. Damit kommst Du schon recht weit.

aleph-math aktiv_icon

16:48 Uhr, 14.01.2011

Hallo zusammen!

@smoka: Fehler!? Wenn p wie übl. der Impuls ist, gilt doch:

\vec{F} = \vec{\dot{p}} = m \vec{\dot{v}} = m \cdot a

, nicht?

@virus: m.E. Stimmt die Luftreibg. nicht. Physik. Größen haben ja nicht nur einen Wert, sond. auch eine Einh. bzw. Dimens. Damit der Term kv^2 insges. eine Beschleun. mit der Einh.

\frac{m}{s^{2}}

ist, müßte das k die Einh.

m^{- 1}

haben; ist aber nicht der cw-Wert dim.los? Ist die Luftreibg. nicht von
der selben Form wie die Bodenr., also

R_{L} = c_{w} \cdot F_{H}

, mit dem Hangabtrieb F_H?

Was jetzt die DFG (wir haben DGL gesagt) betrifft, hast du ja (selbst) die Formel:

\overset{..}{x} = a

, dh. die Beschleun. ist die 2.Ableit. des Wegs.

Wie komm ich da auf den Weg? Nun, wie Add./Subtr., Mult./Div., o. Exp/Log. Paare von Operat. & Umkehrop. sind, gilt das auch für Diff./Integr. Wir müssen also einfach die Beschl. 2x integr. (Konst. nicht vergessen!) Das sieht dann so aus: