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Differenz immer durch 9 teilbar

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: differenz, Division

irmgard aktiv_icon

11:52 Uhr, 16.09.2009

Hallo ihr.

Ich bin auf eine Denkaufgabe gestoßen, die ich aber leider nicht lösen kann. Allerdings würde mich die Begründung sehr interessieren. Hier mal die Aufgabe:

Wähle eine beliebig große Zahl, beispielsweise

324

. Bilde aus den gleichen Ziffern eine neue Zahl, also

z . B

243

. Ziehe die kleinere Zahl von der größeren ab.

324 - 243 = 81

.
Diese Differenzen sind IMMER durch 9 teilbar. Ich habs mit vielen Zahlen versucht und es stimmt immer. Nur WARUM?

Kann mir eine/r weiterhelfen?

Grüße
Irmgard

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen

DerCommander aktiv_icon

12:06 Uhr, 16.09.2009

es gibt dinge, über die kann man logisch nachdenken und es gibt dinge bei denen sich sowas nicht lohnt. dein problem gehört wohl zu letzterem. wenn sich die zahlen so verhalten dann ist es eben so und irgendwer hat mal gesehen, dass das eben immer durch 9 teilbar ist. es ist eben einzig und allein unserem 10er zahlen system geschuldet.

maxsymca

12:15 Uhr, 16.09.2009

Über Zahlenqualitäten kann man durchaus nachdenken:
Nun ist es so, das die Teilbarkeit

\frac{a}{b} = d

Rest

c ~ a

modulo

b = c

modulo 9 besondere Eigenschaften aufweist:

(\sum a_{i})

modulo

9 = (\sum a_{i}

modulo

9)

in Verbindung mit

a_{i}

modulo

9 = a_{i} \cdot 10^{n}

modulo 9

was die beschriebene Zahlenqualität erklärt....

irmgard aktiv_icon

12:27 Uhr, 16.09.2009

Da rätsel ich den halben Vormittag und kaum ist das hier drin, habe ich eine gute Idee bzw sogar die Lösung?!
Die 3stellige Zahl abc kann man so schreiben:

100 a + 10 b + c

.
bca kann man so schreiben:

100 b + 10 c + a

Sei

a > b :

100 a + 10 b + c - (100 b + 10 c + a) = 99 a - 90 b - 9 c

. Alle Glieder (wie nennt man das mathematisch richtig? also

z . B

. das

99 a)

sind durch 9 teilbar. Also ist die gesamte Differenz durch 9 teilbar.
Ist das ein annehmbarer Beweis oder habe ich was vergessen oder falsch gemacht?

Shipwater aktiv_icon

13:44 Uhr, 16.09.2009

99 a - 90 b - 9 c = 9 (11 a - 10 b - c)

und somit durch neun teilbar.

Shipwater

irmgard aktiv_icon

10:24 Uhr, 17.09.2009

Dann scheint meine Antwort ja richtig gewesen zu sein. Danke, kann zu.

Tafelkreide aktiv_icon

22:47 Uhr, 08.03.2020

Verehrte Frau Irmgard, bin beim Suchen mit METAGER auf Ihren Beitrag über die Differenz der Zahlen mit identischen Ziffern, die immer durch 9 teilbar sind, gestoßen: ich suchte nach einer Erklärung, wieso mein Abteilungsleiter (Bank, vor ca

30

Jahren) scheinbar so leicht den Zahlendrehern in einer Addition auf die Spur kam. Irgend was mit "durch 9 teilbar". Nach weiten Ausflügen in die Neuner-Rest und Elfer-Probe und Ausrutscher auf dem Parkett der Mengenlehre-Akrobaten - ich hatte es nur bis zur Analytischen Geometrie und der ebenen Planimetrie geschafft - war ich froh, in Ihrem Beitrag eine plausible und sogar verstehbare Lösung gefunden zu haben. Ich habe sie abgeschrieben ( selber schreiben - von der Hand - befestigt das Verständnis )nachgerechnet und begriffen, dass darin die Erklärung für den Trick beim "Zahlendreher- entdecken" lag.
Auch dort werden ja Zahlen mit identischen Ziffern benutzt.
Für diese Hilfestellung meinen Dank: Wenn Sie die Frage nicht angestoßen hätten, konnte der schlaue kollege nicht hinweisen und Sie zur eigenen Lösung anregen.

Wie sagt man am Ende des Telefonats ? "Danke, Sie haben mir weitergeholfen"
Weiter gute Erfolge wünscht Tafelkreide ( Abi

1966)

EmmaKonstanz aktiv_icon

10:43 Uhr, 24.08.2023

Lieber Commander

ich teile deine Sichtweise auf das mathematische Problem. Zweifellos gibt es Bereiche, in denen die logische Analyse unverzichtbar ist, und andere, in denen sie weniger relevant erscheinen mag.

Jedoch möchte ich darauf hinweisen, dass auch vermeintlich "einfache" mathematische Phänomene wie das von Imgard sich definitiv zu lösen lohnt, um den mathematischen Hintergrund besser zu verstehen und in Zukunft einfach anwenden zu können.

Auch wenn manche mathematische Rätsel auf den ersten Blick als "nicht so wichtig" erscheinen mögen, können sie dennoch dazu beitragen, unser Verständnis von Mustern, Strukturen und Zusammenhängen zu erweitern.

In diesem Sinne möchte ich dich dazu ermutigen, das mathematische Problem aus verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten. Manchmal führen uns scheinbar einfache Fragen auf unerwartete Pfade der Erkenntnis.
Sonst frag Einstein

Mit mathematischem Respekt,
Emma Konstanz

Randolph Esser aktiv_icon

20:05 Uhr, 24.08.2023

Wir zeigen zunächst:

Für alle

k, l \in N_{0}

gilt

9 | (10^{k} - 10^{l})

.

Denn falls

k \geq l,

gilt

10^{k} - 10^{l} = 10^{l} (10^{k - l} - 1) = 10^{l} \cdot 9 \cdot \sum_{m = 0}^{k - l - 1} 10^{m}

(beachte, dass

\sum_{m = 0}^{- 1} 10^{m} := 0

(leere Summe) und

9 | 0),

und falls

l > k,

gilt

10^{k} - 10^{l} = 10^{k} (1 - 10^{l - k}) = - 10^{k} (10^{l - k} - 1) = - 10^{k} \cdot 9 \cdot \sum_{m = 0}^{l - k - 1} 10^{m}

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Sei nun

φ

eine Permutation von

(0,1, ..., n), n \in N_{0}

sowie

a_{k} \in {0,1, ...,9}

für alle

0 \leq k \leq n

. Dann gilt

\sum_{k = 0}^{n} a_{k} 10^{k} - \sum_{k = 0}^{n} a_{k} 10^{φ (k)} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (10^{k} - 10^{φ (k)})

.

Wegen

9 | (10^{k} - 10^{φ (k)})

für alle

0 \leq k \leq n

folgt, dass

9 | (\sum_{k = 0}^{n} a_{k} 10^{k} - \sum_{k = 0}^{n} a_{k} 10^{φ (k)})

HJKweseleit aktiv_icon

17:09 Uhr, 27.08.2023

Neben den zu allgemeinen und zu komplizierten Antworten versuche ich mal, mit Hilfe eines Beispiels die Sache zu erklären.

Nehmen wir die Zahl mit den Ziffern abcde (sie kann auch länger werden, das ändert aber nichts an meiner Erklärung).

Sie hat den Wert
10000

\cdot

a + 1000

\cdot

b + 100

\cdot

c + 10

\cdot

d + e
= (9999

\cdot

a + a) + (999

\cdot

b + b) + (99

\cdot

c + c) +(9

\cdot

d + d) + (e)
=(9999

\cdot

a + 999

\cdot

b + 99

\cdot

c + 9

\cdot

d) + (a + b + c + d + e)
=9

\cdot

(1111

\cdot

a + 111

\cdot

b + 11

\cdot

c + d) + (a + b + c + d + e)

Teilen wir nun diese Zahl durch 9, so kommt für
9

\cdot

(1111

\cdot

a + 111

\cdot

b + 11

\cdot

c + d):9 = (1111

\cdot

a + 111

\cdot

b + 11

\cdot

c + d) eine glatte Zahl heraus,
jetzt fehlt noch (a + b + c + d + e):9

Wenn abcde einen Rest lässt, dann ist das der Rest, der bei (a + b + c + d + e):9 entsteht.

(a + b + c + d + e), also die Summe der Ziffern der Zahl, heißt die Quersumme der Zahl.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Regel: Der Rest, der beim Teilen einer Zahl durch 9 entsteht, ist genau der selbe, der beim Teilen der Quersumme durch 9 entsteht. (Das gilt nur beim Teilen durch 9.)
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist, denn beide haben dann den Rest 0.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beispiele

123456:9 = 13717 Rest 3 und (1+2+3+4+5+6):9 = 21:9 = 2 Rest 3
75132:9 = 8348 Rest 0 und (7+5+1+3+2):9 = 18:9 = 2 Rest 0

Jetzt zu deinem Problem:

Du hast irgendeine Zahl mit der Quersumme x.
Wenn du die Ziffern vertauscht, hat die neue Zahl wieder die Quersumme x.

Beim Teilen durch 9 lassen beide Zahlen also den gleichen Rest. Wenn du jetzt die Zahlen voneinander abziehst und das Ergebnis durch 9 teilst, kannst du stattdessen auch die Einzelergebnisse ausrechnen und voneinander abziehen. Dabei heben sich aber die Reste auf. Also ist das Ganze durch 9 teilbar.

Beispiel:
72893:9 = 8099 Rest 2
27983:9 = 3109 Rest 2
-----------------------------
44910:9 = 4990 Rest 0

Weil beide Zahlen die selbe Quersumme haben, haben sie auch den selben Rest, der sich beim Abziehen aufhebt. Das ist immer so.
------------------------------------------------------

Hier noch ein schöne Mathetrick, mit dem du andere verblüffen kannst:

Ohne hinzuschauen lässt du jemand eine Zahl mit beispielsweise 5 Ziffern hinschreiben und darunter die selbe Zahl noch mal, aber mit vertauschten Ziffern und so, dass die 2. Zahl kleiner als die 1. ist. Dann lässt du die beiden Zahlen voneinander abziehen.

Du weiß nun, dass das Ergebnis durch 9 teilbar ist und dass die Quersumme(!) durch 9 teilbar sein muss. Jetzt bittest du den anderen, eine Ziffer im Ergebnis durchzustreichen, aber keine 0. Dann lässt du dir vom Ergebnis die restlichen Ziffern ohne die durchgestrichene Nennen und addierst sie im Kopf.

Sagen wir mal, es kommt 25 heraus. Du weißt aber, dass beim Ergebnis ein voller Neuner herauskommen muss. Deshalb sagtst du. "Dann hast du eine 2 durchgestrichen".

Wenn der andere sagt, es kommt 18 heraus, weiß du nicht, ob er eine 9 oder eine 0 durchgestrichen hat. Deshalb verbietest du das Durchstreichen der 0, also wurde eine 9 durchgestrichen.

Und das alles, ohne hinzuschauen ...

Karosu aktiv_icon

23:21 Uhr, 28.08.2023

Also, ich möchte nach allem hier einen Fakt anmerken, und zwar: Modulo.

Der Begriff mag dir vielleicht nichts sagen, aber wäre in dieser Hinsicht sehr nützlich.

Modulo ist die Restklasse, also welchen Rest eine Zahl bei Division durch ein festes

x

(also in diesem Fall

9)

liefert.

Du kennst vermutlich die Teilbarkeitsregel von neun, also wenn die Quersumme von der Zahl durch neun teilbar ist, dann ist es die Zahl selbst auch.

Die Erweiterung davon wäre:

Jede Zahl hat bei Division durch neun den gleichen Rest wie seine Quersumme.

Nehmen wir ein Beispiel:

1234 : 9 = 137

Rest 1

Quersumme von

1234 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

10 : 9 = 1

Rest 1

Du kannst es gerne für andere Werte ausprobieren.

Damit könnte man es zeigen.

Aber zurück zu deinem Ansatz.

Dein obiger Beweis ist für dreistellige Zahlen korrekt.

Um dieses Phänomen zu erklären, brauchen wir den Fakt, dass die Zahl

10^{x}

immer den Rest 1 bei Division durch 9 gibt.

(Das liegt daran, dass 99999… immer durch 9 teilbar ist)

Nun kann man Reste multiplizieren, was deinen Ansatz erklärt.

a hat den Rest a bei Division durch 9 und

1000000

den Rest 1
Multipliziert man diese miteinander, ergibt sich:

a \cdot 1000000

hat den Rest a bei Division durch 9.

Betrachtet man wie in deiner Lösung nur die Komponenten mit

a,

fällt auf, dass sowohl beim Subtrahend, als auch beim Minuend den Rest a bei Division durch 9 erhält.

Die Differenz ist somit immer durch 9 teilbar.

Addiert man nun alle diese Komponenten zusammen ist es immer noch durch 9 teilbar.

Ich hoffe das hat dir geholfen, die vermutlich bereits richtigen Gedanken zusammenzufassen und zu sortieren, ebenfalls hoffe ich, dass du hier was neues gelernt hast :-)

LG Oscar
(Klasse

10,

woher ich das weiß: Mathe-Wettbewerbe

z . B

. Mathe-Olympiade)

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