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Differenzengleichungen lösen und vereinfachen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Differenzengleichung, Summenzeichen, Vereinfachen

aamer aktiv_icon

10:38 Uhr, 05.11.2012

Hallo Leute,

ich muss folgende Aufgabe lösen. Ich habe es schon ein paar mal versucht, aber bin leider nie wirklich weiter gekommen.

Lösen Sie die folgenden Differenzengleichungen. Vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse soweit wie möglich:

(a²+1)

\cdot y_{n + 1} -

(a²-1)

\cdot y_{n} = 2,

mit der Anfangsbedingung

α_{0} = 2

wobei

a \neq - 1

und

a \neq 1

Wie lautet die Lösung, wenn die Anfangsbedingung

α_{0} = 1

ist?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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10:46 Uhr, 05.11.2012

z

transformieren...

aamer aktiv_icon

10:49 Uhr, 05.11.2012

Könntest du das bitte noch etwas erläutern? Was ist transformieren?

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10:51 Uhr, 05.11.2012

die Z-Transformation ist ein Verfahren um solche differenzengleichungen zu loesen... aber wenn dir das nichts sagt, muesst ihr das irgendwie anders gelernt haben (keine ahnung wie sonst).

mit welchen verfahren habt ihr das denn sonst gemacht? kannst du mir mal ein paar begriffe nennen... dann faellt mir dazu vielleicht noch was ein...

aamer aktiv_icon

10:58 Uhr, 05.11.2012

Bisher haben wir es so gemacht, dass immer nur 3 Sonderfälle zur Auswahl standen und man sich mithilfe der Anfangsbedingung und der Formel

y_{n + 1} = a_{n} + y_{n} + b_{n}

für einen Sonderfall entscheiden musste. Dann konnte man das mit Summenzeichen usw. auflösen und vereinfachen.

Aber hier weiß ich nicht einmal, welcher Sonderfall das ist.

Wie funktioniert die Z-Transformation?

CKims aktiv_icon

11:04 Uhr, 05.11.2012

fuer die z-transformation muss man sich schon ein wenig zeit geben... kommt so gegen ende der mathekurse eines technischen studienganges... will sagen, dass man das nicht mal so eben hier per chat erklaeren kann.

ihr habt anscheinend daher nicht das komplette ding gelernt, wie man so etwas loest, sondern nur eine hand voll sonderfaelle, die fuer euch wichtig sind... ich weiss aber nicht welche sonderfaelle ihr als wichtig empfindet... da musst du schon alle sonderfaelle aufzeigen, die ihr hattet und wenigstens einmal zeigen, wie ihr das geloest habt... sonst kann dir hier auch kaum ein anderer helfen (der nicht zufaellig dieselben sonderfaelle gelernt hat)

aamer aktiv_icon

11:17 Uhr, 05.11.2012

Wir hatten folgende Sonderfälle (im Anhang):

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12:57 Uhr, 05.11.2012

(c^{2} + 1) \cdot y_{n + 1} - (c^{2} - 1) y_{n} = 2

(c^{2} + 1) \cdot y_{n + 1} = (c^{2} - 1) y_{n} + 2

y_{n + 1} = \frac{c^{2} - 1}{c^{2} + 1} y_{n} + \frac{2}{c^{2} + 1}

vgl. mit

y_{n + 1} = a y_{n} + b

mit

a = \frac{c^{2} - 1}{c^{2} + 1}

und

b = \frac{2}{a^{2} + 1}

hast du dann fall

(2)

also

y_{n} = α a^{n} + b \frac{a^{n} - 1}{a - 1} = 2 {(\frac{c^{2} - 1}{c^{2} + 1})}^{n} + \frac{2}{a^{2} + 1} \frac{{(\frac{c^{2} - 1}{c^{2} + 1})}^{n} - 1}{\frac{c^{2} - 1}{c^{2} + 1} - 1}

aamer aktiv_icon

15:45 Uhr, 05.11.2012

Achso ok. Also ich konnte dir bis jetzt folgen. Vielen dank dafür!
Aber nun scheiter ich an der Vereinfachung dieses Terms. Wäre sehr nett
Wenn du mir da noch etwas weiterhelfen könntest.

Aber vielen dank schonmal hierfür.

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