Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Dim(Hom(V,W))

Dim(Hom(V,W))

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

Helmsen aktiv_icon

01:24 Uhr, 17.12.2011

Hallo,

ich weiß, dass diese Aufgabe hier im Forum schon einmal gelöst wurde, jedoch mit einem Werkzeug, das wir noch nicht kennen (Matrizen).

Also die Aufgabe ist, die DImension von Hom(V,W) zu bestimmen wobei

V

und

W

endlich dimensioniert sind.
Ich probiere seit mehreren Tagen herum und lese auch viel nach, doch ich habe noch keinen guten Weg gefunden.

Das einzigste, was ich bisher habe ist:
Sei Dim(V)=Dim(W) und

v_{1}, ..., v_{n}

Basis von

V

und

w_{1}, ..., w_{n}

Dann gibt es genau eine klineare Abbildung mit

f (v_{i}) = w_{i}

mit

i = 1, ..., n

Die Anzahl dieser eindeutig bestimmten Funktionen verschieden Abzubilden wäre dann die Dimension von Hom(V,W).
Weiß aber nicht wie viele dies sein sollten und wie zeigen, dass dies dann die Dimension ist. Und das wäre ja nur für Dim(V)=Dim(W).

Ich bin sehr dankbar um jede mich endlich erleuchtende Hilfe. Ich MUSS die Aufgabe und Hom(V,W) endlich verstehen! :-)

hagman aktiv_icon

10:20 Uhr, 17.12.2011

Im Allgemeinen muss noch nicht einmal

dim (V) = dim (W)

gelten.
Gehe lieber von

dim (V) = n

und

dim (W) = m

aus (ich behalte hier also wenigstens die starke Einschränkung bei, dass beide endlichdimensional sind, aber auch dass bräuchte man nicht).
Dann gibt es zu gegebenen

i

und

j

mit

1 \leq i \leq n

und

1 \leq j \leq m

eine lineare Abbildnug

f_{i, j} : V \to W

mit

f_{i, j} (v_{i}) = w_{j}

sowie

f_{i, j} (v_{k}) = 0

für alle

k \neq i

(warum?)
Da es

n

Auswahlmöglichkeiten für

i

und

m

für

j

gibt, findet man

n \cdot m

solche Abbildungen

f_{i, j}

.
Dann muss man nur noch zeigen, dass erstens diese Abbildungen linear unabhängig sind und zweitens jede lineare Abbildung

f : V \to W

sich als Linearkombination der

f_{i, j}

darstellen lässt.

Helmsen aktiv_icon

12:12 Uhr, 17.12.2011

Also mit

f_{i, j} (v_{i}) = w_{j}

bildet man die Basis von

V

auf

W

ab. Dim(W) kann nicht größer sein als Dim(V) aber kleiner. Also für den Fall, dass Dim(V) größer ist, werden alle

v_{i} \in V

mit

i > j

auf 0 abgebildet. Hab ich das so weit richtig verstanden?

Dann zu der linearen unabhängigkeit.
Also ich weiß ja nun, dass

f_{i, j} (v_{i})

linear unabhängig ist und

w_{j}

auch, denn

w_{j}

ist ja wieder die Basis von W.
Also lässt sich jeder Vektor

w' \in W

eindeutig darstellen mit

(i = 1

bis

n) \sum α_{i} w_{i}

.
Das ist ja jetzt aber nicht die gesuchte lineare Unabhängigkeit oder? Das ist ja nur die in

W

und nicht die der Funktionen in Hom(V,W). Aber wie man das mit Funktionen macht leuchtet mir nicht ein.

Helmsen aktiv_icon

14:16 Uhr, 18.12.2011

Kann mir keiner einen Hinweis geben, wie man die lineare Abhängigkeit mit Funktionen als Vektoren zeigt? Ich find das extrem abstrakt.

hagman aktiv_icon

19:06 Uhr, 18.12.2011

Selbstverständlich kann

dim W

auch größer als

dim V

sein.
So ist sowohl

H o m (ℝ^{2}, ℝ^{3})

als auch

H o m (ℝ^{3}, ℝ^{2})

ein 6-dimensionaler Vektorraum-
Lineare (Un-)Abhängigkeit zeigt man mit der Definition.
Angenommen eine Linearkombination der

f_{i, j}

ist

0,

dann ist zu zeigen, dass zwingend alle Koeffizienten 0 sind:
Aus

\sum_{i, j} c_{i, j} \cdot f_{i, j} = 0

soll

c_{i, j} = 0

für alle

i, j

gefolgert werden.

Was bedeutet

\sum_{i, j} c_{i, j} \cdot f_{i, j} = 0

überhaupt?
Die 0 auf de rechten Seite ist nicht einfach die Zahl

0,

sondern die 0 des hier bretrachteten Vektorraums

H o m (V, W),

also diejenige lineare Abbildung

V \to W,

die jeden Vektor

v \in V

auf den Nullvektor

0 \in W

abbildet.
Es gelte also für jeden Vektor

v \in V

\sum_{i, j} c_{i, j} \cdot f_{i, j} (v) = 0

Insbesondere gilt dies, wenn für

v

speziell einer der Basisvektoren eingesetzt wird, etwa

v_{k}

für ein fest gewähltes

k \in {1,2, ..., n}

. Dann gilt nach Definition der

f_{i, j},

dass

f_{k, j} (v_{k}) = w_{j}

ist, aber ansonsten

f_{i, j} (v_{k}) = 0

ist.
Also

0 = \sum_{i, j} c_{i, j} \cdot f_{i, j} (v_{k})

= \sum_{j = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n} c_{i, j} \cdot f_{i, j} (v_{k})

= \sum_{j = 1}^{m} c_{k, j} \cdot f_{k, j} (v_{k})

= \sum_{j = 1}^{m} c_{k, j} \cdot w_{j}

Da die

w_{j}

eine Basis bilden und hier eine Linearkombination 0 ergeben soll, sind alle Koeffizienten

= 0,

also

c_{k,1} = c_{k,2} = ... = c_{k, m} = 0

.
Da

k

beliebig in

{1,2, ..., n}

gewählt wurde, gilt letztlich

c_{i, j} = 0

für alle oben angegebenen Koeffizienten, was zu zeigen war.

Helmsen aktiv_icon

21:20 Uhr, 18.12.2011

Dann versteh ich "Dann gibt es zu gegebenen

i

und

j

mit 1≤i≤n und 1≤j≤m eine lineare Abbildnug

f_{i, j}

:V→W mit

f_{i, j} (v_{i}) = w_{j}

sowie

f_{i, j} (v_{k}) = 0

für alle k≠i (warum?)" (aus deinem ersten Post) doch noch nicht ganz.

Für

n > m :

Wie würde man dann

f_{i, j} (v_{k})

für

k > j

abbilden? Es gelte ja

k = i

also wäre nach unserer Definition

f_{i, j} (v_{k}) = w_{j}

aber dieses

w_{j}

existiert doch garnicht mehr?

Zu dem Koeffizient

c_{i, j},

das müsste doch ein Element aus dem Körper

K

sein, über dem der Vektorraum existiert. Der haben wir nie definiert, aber es scheint so zu sein, dass das auch weider Hom(V,W) selbst ist?

hagman aktiv_icon

11:40 Uhr, 19.12.2011

Vielleicht habe ich irgendwo

n

und

m

verwechselt?
Es sollte

n = dim V

und

m = dim W

sein.
Beispielsweise gibt es (bezüglich der jeweiligen Standardbasen) die Abbildung

f_{2,5} : ℝ^{3} \to ℝ^{6},

die gegeben ist durch

f_{2,5} ((\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ y \\ 0 \end{matrix})

Mit einem Koeffizienten

z . B

c_{2,5} = 42

zusammen wäre die Abbildung

f := c_{2,5} \cdot f_{2,5}

konkret gegeben durch

f ((\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 42 y \\ 0 \end{matrix})

Helmsen aktiv_icon

20:18 Uhr, 20.12.2011

Vielen Dank für deine Ausführungen. Hat mir viel geholfen und ich konnte die Aufgabe mit ein paar restlichen Recherchen lösen.
Musste sie aber leider schon abgeben.
ALso nochmals vielen Dank und frohe Weihnachten.

954867

953126

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?