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Dimension Vektorraum angeben
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: Vektorraum
 
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Hi Leute :-) Ich soll die Dimension des folgenden Vektorraumes angeben: Es sieht genauso aus und es steht nicht, aus welchem Körper die stammen (warum eigentlich nicht?). Ich würde das dann so machen: Ein Vektor aus diesem Raum wäre demnach . Dann wäre also und die Basisvektoren und der Vektorraum zweidimensional? Und damit isomorph zu ? |
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Hallo, sieht gut aus, bis auf die Kleinigkeit, dass der VR dann halt zu ist, welcher der zugrunde liegende Körper ist. Dieser muss ja nicht unbedingt sein. Aber ansonsten... Mfg Michael |
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Vielen Dank Michael! Meinst du isomorph zu (das adjektiv scheint bei deinem satz zu fehlen)? Jeder VR ist ja aber isomorph zu ist es allgemeiner, von Isomorphie zu zu sprechen oder weswegen weist du darauf hin? Thx |
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Du hattest selbst darauf hingewiesen, dass der Grundkörper nicht angegeben wurde. Der angegebene Vektorraum ist auf jeden Fall (unabhängig vom Grundkörper) 2-dimensional, denn du konntest zwei Vektoren angeben, die auf jeden Fall (egal was ist) den gegebenen Raum erzeugen und die (egal was ist) linear unabhängig sind. Letzteres ist, wenn man nicht angegeben hat, manchmal mit einigen Fallstricken versehen; so könnte in Körpern, in denen zum Beispiel gilt, plötzlich doch eine lineare Abhängigkeit bestehen. Aber das ist hier nicht der Fall. Wenn also der Grundkörper ist, dann ist der Vektorraum isomorph zu . Wenn hierbei ist, dann von mir aus auch zu . Aber wenn ist, dann halt nicht. Wenn beispielsweise ist, dann ist (wohingegen der gegebene aum isomorph zu ist). |
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Das ist sehr interessant, denn dann sind meine Unterlagen nicht ganz korrekt, denn hier steht: "Jeder n-dimensionale Vektorraum ist isomorph zum ". Wenn ich dich richtig verstehe müsste es heissen: "Jeder n-dimensionale Vektorraum über ist isomorph zum ". Warum ist über unendlich dimensional? Ich bin ja ganz am Anfang mit LinAlg - aber ist dieser Raum unendlich dimensional, weil man die reellen Zahlen immer nur annäheren könnte (das ist wohl völliger Mist von mir..?)? |
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Dann scheint bei euch im Skript implizit stets der Grundkörper zu sein. Und (oder auch schon ist ein unendlichdimensionaler Vektorraum über weil: 1. Es ist ein Vektorraum, das mit abelsche Gruppe ist und man jede reelle Zahl mit einer rationalen multiplizieren kann, um eine reelle zu erhalten und das natürlich alles zusammenpasst. Allgemein ist ein Körper stets Vektorraum über einem Unterkörper. 2. Wenn endlichdimensional wäre, gäbe es endlich viele reelle Zahlen so dass jede relle Zahl als . darstellbar wäre. Aber da jedes nur abzählbar viele Werte annehmen kann, werden auch insgesamt nur abzählbar viele reelle Zahlen so erwischt. Da überabzählbar ist, kann das nicht sein. |
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Du, Hagman, mir ist noch etwas aufgefallen und ich weiss noch zu wenig, um mir diese Frage selbst zu beantworten: Du sagtest ja, ein n-Dimensionaler K-Vektorraum ist isomorph zu oder? Was du nicht gesagt hast, ist über welchen Körper gedacht ist, spielt das überhaupt eine Rolle (ie n-dimensionaler Vektoraum ist sowohl isomorph zu über wie auch zu über ? Macht die Frage überhaupt Sinn?)? |
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Wenn ich K-Vektorraum sage, meine ich Vektorraum mit Grundkörper K. ist ein n-dimensionaler -Vektorraum und ein 2n-dimensionaler -Vektorraum |
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