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Dimension des Span bestimmen?
Universität / Fachhochschule
Tags: dimension, Dimension Berechnung, Lineare Algebra, Matrix, span, Vektor
 
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Hallo, ich habe hier einige Vektoren, des . =(1−i,3−i,1−i), =(1+i,2+3i,−1+i), =(2+i,3+4i,−1+2i) Ich habe herausgefunden, dass ist. Daher sind nur bis linear unabhängig und sollten, wenn ich mich nicht verguckt habe eine Basis bilden. Nun soll ich zusätzlich die Dimension des Spans . bestimmen. Meine Fragen: Was genau ist ein Span? Wie berechne ich die Dimension des Span? Danke und Grüße Mac Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Matrizen - Determinante und inverse Matrix Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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Hallo, google hätte Ergebnisse geliefert! Zusammenfassung: Spann und lineare Hülle sind synonym. Mfg Micheal |
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Also ist der span der Raum, der durch die Vektoren, die im Span sind aufgespannt wird? Oder? Und wie berechne ich jetzt die Dimension des Spans? |
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Hallo, sag mal, kommen all diese - äh - Grundlagen denn nicht bei euch in der Vorlesung vor? Schau doch mal in die Mitschrift! Mfg Michael |
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Was glaubst du, was ich getan habe. In der Mitschrift steht dazu nichts. Ich will ja keine Lösung, sonder nur wissen, wie ich das machen muss? Ich würde die Vektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix machen und in Diagonalform bringen. Die Anzahl der nicht-Nullzeilen ergibt dann dim. Stimmt das? Muss ich alle vier Vektoren nehmen, oder nur die, die linerar unabhängig sind? Gruß Mac |
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Hallo, was studierst du denn, wenn ich so indiskret sein darf? Zu meiner Zeit war es in den ersten paar Wochen gerade das Thema der Vorlesung "lineare Algebra I", diese Zusammenhänge herauszuarbeiten. Da wurden die Begriffe maximal linear unabhängige Menge, minimales Erzeugendensystem, Basis Dimension, Rang, lineare Gleichungssysteme usw. vernünftig IN DER VORLESUNG miteinander verknüpft. Nun schreibst du, dass das bei euch nicht der Fall ist?! Stimmt mich - hm - gelinde misstrauisch. Allerdings hast du den wesentlichen Teil erfasst. Die Dimension eines (Unter-)Vektorraums ergibt sich aus der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Maximal ist wichtig. Das garantiert, dass es sich dabei um eine Basis, also insbesondere ein Erzeugendensystem handelt. Ein Erzeugendensystem ist dir für den Spann von ja schon gegeben, die Frage ist, wieviele man davon mindestens nehmen muss, um immer noch den gleichen Spann aufzuspannen. Letztlich lassen beide Fragen eine Formulierung als Gleichungssystem zu, was man als Matrix schreiben kann. Der Rang der Matrix ist dann gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Also genau das, was du suchst. Und ja, der Rang verändert sich bei Anwendung elementarer Zeilen- und Spaltenumformungen nicht, sodass du per Gauss-Verfahren die Matrix trigonalisieren kannst. Und nun sei ehrlich zu dir, in der Vorlesung und der Übung sind diese Dinge bestimmt thematisiert worden, oder? Mfg Michael |
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Danke für die Antwort. Es kann nicht sonderlich klar geworden sein (In Vorlesung und Übung), da alle sich nicht sicher sind, ob sie nun alle 4 Vektoren oder nur die Vektoren ins LGS packen sollen, die linear unabhängig sind. Bei komplexen Zahlen macht es einen erheblichen Unterschied Zeittechnisch, ob nun vier Zeilen im LGS oder nur 3 Zeilen im LGS sind. Ich wäre ja für alle 4 Vektoren im LGS. Stimmt das? Oder reichen die drei linear unabhängigen? Gruß Mac |
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Hallo, dass es zumindest dir nicht klar geworden ist, wird mit jedem deiner postings deutlicher. Ich will dich damit nicht beleidigen. Es spielt aber keine Rolle, wie viele in einer Vorlesung das ganze verstehen. Das ist keine Schule mehr. Wenn die Durchfallquote 100% beträgt, dann ist das eben so. Um so besser, dass du dich informieren willst. Wenn du sowieso nur linear unabhängige Vektoren nimmst, dann bilden diese eine Basis des von ihnen erzeugten Untervektorraums. Die Anzahl der Basiselemente geben die Dimension an. Erkennst du, in welchem Kreis du dich da drehst? Nein, es geht doch darum herauszufinden, wie viele der in enthaltenen Vektoren maximal linear unabhängig sind. Also schreibt man die Vektoren (von mir aus) als Spalten in eine Matrix. Darauf wendet man das Gauss-Verfahren an, bis man Zeilenstufenform hat. Dann erkennt man daran, wie viele Vektoren maximal linear unabhängig sind an der Anzahl der noch vorhandenen linear unabhängigen Spalten. Ist das nicht klar geworden? Mfg Michael |
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Danke für die Antwort. Also habe ich recht, dass ich für die Dimension des Span(v_1,...v_4) ein LGS mit allen vier Vektoren bzw. Matrix machen muss. Die Anzahl der Spalten oder Zeilen (je nach dem), die nicht 0-Zeile sind, gibt dann die Dimension des Spans an. |
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