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Vektorräume

Tags: dimension, Vektorraum

Februar1 aktiv_icon

00:04 Uhr, 07.01.2022

Sei

V

ein endlich erzeugter K-Vektorraum, und seien

W 1, W 2

≤

V

zwei Unterräume. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

a)

FürdenVektorraumW1×W2

= {(w 1, w 2) | w 1

∈W1,w2 ∈W2

}

mitdendurch

(w 1, w 2) + (x 1, x 2) := (w 1 + x 1, w 2 + x 2),

c·(w1,w2)

:=

(c·w1,c·w2)
definierten Operationen gilt

dim (W 1

W 2) = dim W 1 + dim W 2

. (Sie brauchen nicht nachzurechnen, dass

W 1

W 2

mit diesen Verknüpfungen ein Vektorraum ist.)

b)

Die lineare Abbildung φ

: W 1

∩

W 2

→

W 1

W 2

mit φ(x)

:= (x,

−x) ist injektiv.

c)

Die lineare Abbildung ψ:W1×W2 →W1+W2 mit (y,z)⟼ψ(y,z):=y+z ist surjektiv.

d)

Es gilt Kerψ=Ranφ.

e)

Es gilt

dim W 1 + dim W 2 = dim (W 1 + W 2) + dim (W 1

∩W2)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

19:12 Uhr, 07.01.2022

Hallo,

fang doch mal mit der ersten Aussage an. Nimm an, dass

W_{1}

eine Basis

a_{1}, ..., a_{k}

hat und

W_{2}

eine Basis

b_{1}, ..., b_{m}

. Dann bedenken, dass

(w_{1}, w_{2}) = (w_{1}, 0) + (0, w_{2})

ist

...

.

Die nächsten Aussagen sind nicht so schwer, wie weit kommst Du?

Gruß pwm

Februar1 aktiv_icon

13:35 Uhr, 09.01.2022

ich habe es ein wenig anders.
seien

a_{1}, ... ., a_{n}

eine Basis von

W 1

und

(b_{1}, ...

, b_{k})

Basis von

W 2

. und sei

B = {a_{1}, ...

, a_{n}, b_{1}, ... .

, b_{k})

Basis von

dim (W_{1} x W_{2}),

daraus flogt

n + b

∈

dim (W_{1} x W_{2})

dim W_{1} + {dim}_{2} = {a_{1}, ... .

, a_{n}} + {b_{1}, ... ... . ., b_{k})

n

∈

dim W_{1}, k

∈

dim W_{2}

also

n_{1} + n_{2} = dim W_{1} + dim W_{2}

b, c

und

d

habe ich keine Idee .

e)

habe ich schon gelöst .

Danke :-)

pwmeyer aktiv_icon

17:40 Uhr, 09.01.2022

Hallo,

"Basis von dim(W1xW2)"

Die Dimension ist eine Zahl, ich weiß daher nicht, was Du da meinst. Auf jeden Fall ist nicht:

B \subset W_{1} \times W_{2}

??

Wenn Du

e)

schon gelöst hast, würde mich interessieren wie - wenn das nicht zuviel Schreibarbeit für Dich ist.

Was

b)

betrifft, kannst Du mit der allgemeinen Definiton von "injektiv" arbeiten oder mit der speziellen Eigenschaft einer linearen Abbildung.

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

18:54 Uhr, 09.01.2022

Hallo
du hast ja nicht gezeigt, das bzw warum deine Basis eine für

W_{1} \times W_{e}

ist?

b)

alle Vektoren in

b)

liegen doch in

W_{1}

W_{2},

wenn du davon einen nimmst etwa

w_{1},

dann gibt es doch nur

(w 1, - w 1)

mit Urbild in dem Schnitt und kein anderes Urbild, das ist also einfach, ähnlich

c)

welche Vektoren in

W_{1} + W 2

erreichst du denn nicht?

d)

überlege, was in Kern(\psi) liegt.
ledum

Februar1 aktiv_icon

21:06 Uhr, 09.01.2022

e)

ist leider sehr viel Schreibarbeit

: (

mit

B

meine ich irgendeine Zahl ∈

dim (W_{1} x W_{2})

in der Vorlesung wurde so gesagt
wenn die

A

. linear ist kann man hier zB.

φ (x) = φ (x')

einsetzen, dann

φ (x) - φ (x') = 0 = φ (x - x')

ich bin mir aber nicht sicher ob man das überhaupt verwenden soll? das klingt sehr einfach

danke euch beiden für Tipps

ledum aktiv_icon

22:38 Uhr, 09.01.2022

Hallo
dein Satz "mit

B

meine ich irgendeine Zahl ∈ dim(W1xW2))
nimm an dim(W1xW2))=6 was heisst dann deine Aussage

B

ist in 6?
ledum

Februar1 aktiv_icon

22:48 Uhr, 09.01.2022

ja so ergibt es auch kein Sinn oder,

dim (W_{1} x W_{2})

sollte ein Paar sein oder? weil

W

kreuz

W

ist.
tut mir leid ich bin irgendwie aus dem Thema komplett raus.

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