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Dimensionsformel: Injektivität und Surjektivität
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Vektorräume
Tags: dimension, Linear Abbildung, Vektorraum
 
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ich verstehe den folgenden 2. Satz im Bild darunter mit Injektivität und Surjektivität nicht. Wie kann ich darauf schließen, dass injektiv und surjektiv so zusammenhängen? Für Hilfe wäre ich echt dankbar :-)  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Moin und frohes Fest! Eine lineare Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition. Ein Gruppenhomporphismus ist genau dann injektv, wenn der Kern trivial ist, also nur ein Element enthält, das Nullelement der Gruppe, das heißt hier den Nullvektor von V. Damit besitzt der Kern von die Dimension Null! Der zweite Satz legt fest, dass gilt . Nutzt man diese Informationen mit dem ersten Satz, dann erhält man dim Ker(T) Im(T) beziehungsweise, unter der Annahme, dass injektiv ist und weil obige Aussage gilt Im(T) Damit kann man sich schonmal die eine Richtung überlegen. Die andere liegt dann nahe. MfG |
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