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Diracmaß

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Husteguzel aktiv_icon

20:33 Uhr, 06.05.2017

Servus zusammen,

ich habe zu folgender Aufgabe ein paar Fragen:

Sei X eine nicht leere Menge und

a \in X

. Wir definieren

δ_{a} : P (X) \to

{0,1} durch:

Für

A \subset X; δ_{a} (A) = 1

, falls

a \in A

;

δ_{a} (A) = 0

, falls

a \notin A

Zeigen Sie, dass

δ_{a}

ein Maß auf X ist und bestimmen die

δ_{a}

-messbaren Mengen.
-----------------------------
Wenn ich das mit dem Diracmaß richtig verstanden habe ist es eigentlich ein normales Maß das aber halt nur 0 bzw. 1 wird.
Laut der Wikipedia Definition zum Diracmaß sollte da aber auch irgendwo ein Sigma-Algebra dabei sein. Ist das bei dieser Aufgabe einfach nicht der Fall oder übersehe ich da was?

Unsere Definition für das Maß ist im angehängten Screenshot zu sehen.

Um zu zeigen, dass es sich um ein Maß handelt muss ich also erstmal zeigen, dass:

δ_{a} (\emptyset)

= 0 ist.

Damit das gilt müsste ich zeigen, dass bei

A = \emptyset

, a nicht Element von A ist. Wenn ich es richtig verstehe darf a also einfach nicht leer sein, da laut Aufgabe

a \in X

gilt und X eine nicht leere Menge ist, sollte dieser Part damit eigentlich schon erfüllt sein?

Bei der zweiten Bedingung weiß ich erstmal nicht genau wie ich anfangen soll.

Um die messbaren Mengen zu zeigen haben wir eine Definition die ich ebenfalls als Screenshot anhänge. Die

δ_{a}

-messbaren Mengen sind also all jene die diese Eigenschaft erfüllen. Aber erstmal möchte ich den Part mit dem Maß zeigen also lasse ich die messbaren Mengen jetzt außen vor.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tobit aktiv_icon

02:58 Uhr, 07.05.2017

Hallo Husteguzel!

Gut, dass du die Screenshots angehängt hast!

Demnach verwendet ihr eine von der üblichen Definition abweichende Definition eines Maßes, die nicht einmal äquivalent zur üblichen Definition ist.

Nachdem ich dies weiß, muss ich meine Behauptung aus einem anderen Thread, das Lebesgue-Maß sei kein Maß auf

ℝ^{n}

, im Sinne eurer Nicht-Standard-Definition revidieren.

Wikipedia wird dir bezügliche Maßen für deine Veranstaltung nicht viel weiterhelfen, da bei Wikipedia wohl von der üblichen Definition eines Maßes ausgegangen wird.

"Um zu zeigen, dass es sich um ein Maß handelt muss ich also erstmal zeigen, dass:
δa(∅) = 0 ist."

Genau.

"Damit das gilt müsste ich zeigen, dass bei A=∅, a nicht Element von A ist."

Genau.

Gilt

a \in \emptyset

oder gilt

a \notin \emptyset

?

"Wenn ich es richtig verstehe darf a also einfach nicht leer sein,

Das ist Quatsch. Und wer sagt dir, dass a überhaupt eine Menge ist?

"da laut Aufgabe a∈X gilt und X eine nicht leere Menge ist, sollte dieser Part damit eigentlich schon erfüllt sein?""

Die Aussage

a \in X

ist in der Tat in der Aufgabenstellung vorausgesetzt, insbesondere ist

X

nicht die leere Menge.
Aber das hat wenig bis nichts mit der Frage zu tun, ob

a \in \emptyset

gilt (und auch nichts mit der Frage, ob a nichtleer ist, falls a eine Menge ist).

"Bei der zweiten Bedingung weiß ich erstmal nicht genau wie ich anfangen soll."

Seien Mengen

A

und

A_{k}

für

k = 1, 2, 3, \dots

mit

A \subseteq ⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k} \subseteq X

beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist

δ_{a} (A) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} δ_{a} (A_{k})

.

Betrachte dazu zunächst

δ_{a} (A)

und

δ_{a} (A_{k})

für

k = 1, 2, 3, \dots

.
Wie lauten diese Werte?

Das hängt natürlich davon ab, ob

a \in A

bzw.

a \in A_{k}

gilt.
Wir werden also wohl verschiedene Fälle unterscheiden müssen.

Bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass es z.B. genügt, die Fälle

a \in A

und

a \notin A

zu unterscheiden.

1. Fall:

a \in A

.

Wie lautet in diesem Fall

δ_{a} (A)

?

Und was weißt du über die Werte

δ_{a} (A_{k})

für

k = 1, 2, 3, \dots

?
Erst einmal nicht viel (abgesehen von

δ_{a} (A_{k}) \in {0, 1}

für jedes

k

).
Aber wegen

a \in A

und

A \subseteq ⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}

weißt du was über die Zugehörigkeit von

a

zu gewissen Mengen

A_{k}

? Also gilt

a \in A_{k}

z.B. für kein

k

oder für alle

k

oder für mindestens ein

k

oder für höchstens ein

k

oder ...?

2. Fall:

a \notin A

.

Wie lautet in diesem Fall

δ_{a} (A)

?

Was weißt du in diesem Fall über die Werte

δ_{a} (A_{k})

für

k = 1, 2, 3, \dots

? (Achtung: Fangfrage.)

Viele Grüße
Tobias

Husteguzel aktiv_icon

12:53 Uhr, 07.05.2017

Hallo tobit,

tatsächlich finde ich unsere Definitionen im Vergleich zu dem was ich im Internet finde auch immer etwas komisch. Dadurch wird mir das googeln immer etwas erschwert.

a muss natürlich keine Menge sein, aber X könnte ja auch eine Menge von Mengen sein und dann könnte a auch eine Menge sein. Vielleicht habe ich mich aber falsch ausgedrückt mit "a darf nicht leer sein".

Zeigen muss ich, dass

a \notin \emptyset

damit die erste Bedingung erfüllt ist.

\emptyset

ist ja die leere Menge {}, ich dachte jetzt es ist logisch, dass

a \notin \emptyset

erfüllt ist weil

a \in X

ist und X nicht leer ist. Muss ich explizit zeigen das a irgendein Wert ist und wenn ja wie macht man sowas?

Zur zweiten Bedingung:

Da habe ich offensichtlich nicht gut genug nachgedacht. Da das Dirac Maß ja nur 0 oder 1 wird sollte die Bedingung ja zu erfüllen sein wenn man die von dir genannte Fallunterscheidung verwendet. Wenn ich nur den Fall

a \in A

betrachte ist

δ_{a} (A)

immer = 1 und a sollte mindestens Element in einem

A_{k}

sein weil es Element von A ist und A

\subset ⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}

ist. Damit wäre die angegebene Summe immer mindestens 1 und damit auf jeden Fall gleich

δ_{a} (A)

oder eben auch größer wenn a in mehreren

A_{k}

liegt.

Für den anderen Fall wird

δ_{a} (A)

immer = 0 da,

a \notin A

und damit ist

δ_{a} (A)

immer kleiner oder gleich der Summe

δ_{a} (A_{k})

.

Hier habe ich aber noch eine Allgemeine Frage zum Verständnis. Ich gehe bei diesen Annahmen davon aus das es sich bei

A_{k}

und Teile von A handelt, welche anschließend vereinigt werden. Also quasi

A_{k} \in A

.

Grüße
Husteguzel

tobit aktiv_icon

13:27 Uhr, 07.05.2017

" a muss natürlich keine Menge sein, aber X könnte ja auch eine Menge von Mengen sein und dann könnte a auch eine Menge sein."
Ja.

" Zeigen muss ich, dass a∉∅ damit die erste Bedingung erfüllt ist."
Ja.

" ∅ ist ja die leere Menge {}, ich dachte jetzt es ist logisch, dass a∉∅ erfüllt ist "
Ja eben. Welche Elemente enthält die leere Menge? Gar keine!
Also kann sie auch unser

a

nicht als Element enthalten, d.h. es gilt zwangsläufig

a \notin \emptyset

(völlig unabhängig davon, wie

a

genau "aussieht").

" weil a∈X ist und X nicht leer ist. Muss ich explizit zeigen das a irgendein Wert ist und wenn ja wie macht man sowas?"
Das hat nichts mit

a \notin \emptyset

zu tun.

"Zur zweiten Bedingung:

Da habe ich offensichtlich nicht gut genug nachgedacht. Da das Dirac Maß ja nur 0 oder 1 wird sollte die Bedingung ja zu erfüllen sein wenn man die von dir genannte Fallunterscheidung verwendet. Wenn ich nur den Fall a∈A betrachte ist δa(A) immer = 1 und a sollte mindestens Element in einem Ak sein weil es Element von A ist und A ⊂⋃k=1∞Ak ist. Damit wäre die angegebene Summe immer mindestens 1 und damit auf jeden Fall gleich δa(A) oder eben auch größer wenn a in mehreren Ak liegt."

Schön! Genauso hätte ich es mir auch überlegt.

"Für den anderen Fall wird δa(A) immer = 0 da, a∉A und damit ist δa(A) immer kleiner oder gleich der Summe δa(Ak)."

Auch korrekt überlegt! :-)

"Hier habe ich aber noch eine Allgemeine Frage zum Verständnis. Ich gehe bei diesen Annahmen davon aus das es sich bei Ak und Teile von A handelt, welche anschließend vereinigt werden. Also quasi Ak∈A."

A_{k} \in A

ist völliger Quatsch (

A

muss überhaupt keine Mengen als Elemente enthalten).
Meinst du

A_{k} \subseteq A

? Auch das wird im Allgemeinen nicht gelten (auch wenn es natürlich für manche Wahlen von Mengen

A_{k}

zutrifft).
Deine obige korrekte Argumentation funktioniert aber unabhängig davon.

Herzlichen Glückwunsch, den Beweis, dass

δ_{a}

ein Maß ist, hast du erbracht!

Husteguzel aktiv_icon

14:14 Uhr, 07.05.2017

Sehr gut, meine Fragen zu diesem Aufgabenteil sind damit auch beantwortet. Erneut vielen Dank, die Erklärungen und Hinweise haben sehr geholfen.

Dann bleibt noch der zweite Aufgabenteil.

Die

δ_{a}

-messbaren Mengen sind zu bestimmen.

Unsere Definition sagt das eine Menge

A \subset X

μ

-messbar ist(in diesem Fall eben

δ_{a}

-messbar) wenn für alle

B \subset X

gilt, dass;

δ_{a} (B) = δ_{a} (B \cap A) + δ_{a} (B \ A)

Da ich scheinbar alle

δ_{a}

-messbaren Mengen bestimmen soll, müsste ich das ja für sehr viele Mengen zeigen bzw. einen Weg finden der mir direkt alle Mengen gibt die dies erfüllen.

Allerdings kann dieses Maß ja immer nur 1 oder 0 sein, ist

δ_{a} (B) = 0

muss damit

δ_{a} (B \cap A)

und

δ_{a} (B \ A)

jeweils auch Null sein.
Ist

δ_{a} (B) = 1

muss eine der beiden anderen Komponenten 1 sein und ein Null.

Ich würde jetzt sagen es ist also

δ_{a}

-messbar für alle Mengen in denen a einfach nicht Element ist. Weil dann ist

δ_{a}

immer null. Aber das sind vermutlich noch nicht alle Mengen.

Für

δ_{a} (B) = 1

benötige ich etwas anderes.

Damit

δ_{a} (B) = 1

ist muss jetzt ja gelten, dass

a \in B

ist. Wenn jetzt auch

a \in A

gilt dann müsste

δ_{a} (B \cap A) = 1

weil

a \in (B \cap A)

und

a \notin (B \ A)

. Das würde also gehen, aber genauso gut kann ich doch sagen

a \notin A

dann ist es genau anders rum und es würde auch noch die Bedingung erfüllen.

Wie verallgemeinere ich das jetzt um alle

δ_{a}

-messbaren Mengen zu nennen?

-Edit: Ich denke eigentlich alle Mengen

\subset X

sind

δ_{a}

-messbar.

tobit aktiv_icon

21:02 Uhr, 07.05.2017

" Unsere Definition sagt das eine Menge A⊂X μ-messbar ist(in diesem Fall eben δa-messbar) wenn für alle B⊂X gilt, dass;
δa(B)=δa(B∩A)+δa(B\A) "

Genau.

" Da ich scheinbar alle δa-messbaren Mengen bestimmen soll, müsste ich das ja für sehr viele Mengen zeigen bzw. einen Weg finden der mir direkt alle Mengen gibt die dies erfüllen. "

Ja.

" Allerdings kann dieses Maß ja immer nur 1 oder 0 sein, ist δa(B)=0 muss damit δa(B∩A) und δa(B\A) jeweils auch Null sein.
Ist δa(B)=1 muss eine der beiden anderen Komponenten 1 sein und ein Null. "

Ja: Wenn

A

der Bedingung der

δ_{a}

-Messbarkeit genügen soll, muss dies für alle Mengen

B \subseteq X

gelten.

" Ich würde jetzt sagen es ist also δa-messbar für alle Mengen in denen a einfach nicht Element ist. Weil dann ist δa immer null. "

(

δ_{a}

angewendet auf WELCHE Menge ist dann immer null?)

Wenn also

A \subseteq X

eine Menge ist mit

a \notin A

, wie begründest du dann die behauptete

δ_{a}

-Messbarkeit von

A

?
Dazu musst du auch Mengen

B

mit

δ_{a} (B) = 1

zulassen bzw. betrachten.

" Aber das sind vermutlich noch nicht alle Mengen. "

Ja.

" Für δa(B)=1 benötige ich etwas anderes.
Damit δa(B)=1 ist muss jetzt ja gelten, dass a∈B ist. "

Ja.

" Wenn jetzt auch a∈A gilt dann müsste δa(B∩A)=1 weil a∈(B∩A) und a∉(B\A). "

Korrekt.
Damit ist überlegt, dass die Gleichung δa(B)=δa(B∩A)+δa(B\A) im Falle, dass gleichzeitig

a \in B

und

a \in A

gilt, erfüllt ist.

" Das würde also gehen, aber genauso gut kann ich doch sagen a∉A dann ist es genau anders rum und es würde auch noch die Bedingung erfüllen. "

Ja, im Falle

a \in B

und

a \notin A

gilt

a \notin B \cap A

sowie

a \in B \ A

und damit

δ_{a} (B \cap A) + δ_{a} (B \ A) = 0 + 1 = 1 = δ_{a} (B)

.

" Wie verallgemeinere ich das jetzt um alle δa-messbaren Mengen zu nennen?"

Untersuche zunächst noch die beiden verbleibenden Fälle [

a \notin B

und

a \in A

] sowie [

a \notin B

und

a \notin A

] (oder auch gleich den Fall

a \notin B

in einem Rutsch).

-Edit: Ich denke eigentlich alle Mengen ⊂X sind δa-messbar.

Damit liegst du richtig! :-)

Durch die "Fallunterscheiderei" prüft man nämlich nach, dass für alle

A \subseteq X

und alle

B \subseteq X

die Gleichung δa(B)=δa(B∩A)+δa(B\A) erfüllt ist.

Husteguzel aktiv_icon

15:51 Uhr, 08.05.2017

Dann ist die Aufgabe damit vollständig gelöst, wobei ich das ganze noch zusammenfassen muss.

Ich möchte mich wieder vielmals bedanken. Die Erklärungen waren wieder top und haben mich immer schnell in die richtige Richtung gebracht.

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