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Direkte Summe, Beweis

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Direkte Summe, Eigenraum, Gleichheit, Summe

Fabienne- aktiv_icon

15:07 Uhr, 29.06.2014

Hallo, ich würde gerne folgendes Beweisen:

Sei V ein Vektorraum und f\in End(V). Weitere seien

λ_{1}, . . ., λ_{r}

paarweise verschiedene Eigenwerte von f. Zeigen Sie, dass gilt:

\sum_{i = 1}^{r} E i g (f, λ_{i}) = ⨁_{i = 1}^{r} E i g (f, λ_{i})

Also, Eigenräume sind ja so definiert, dass

E i g (f, λ_{i}) = {v \in E n d (v) ∣ f (v) = λ_{i} \cdot v} = k e r (f - i d * λ_{i})

Der Eigenraum ist also ein Untervektorraum (Weil er im Kern der linearen Abbildung liegt?).

Damit ich die

\sum

durch

⨁

ersetzen kann müsste ich nun zeigen, dass der Schnitt der Eigenräume jeweils nur den Nullvektor enthält und diese außerdem den zugrundeliegenden Vektorraum erzeugen, womit ich fertig wäre, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mathe-Steve aktiv_icon

15:16 Uhr, 29.06.2014

Hallo,
hatten wir das nicht schon in einem anderen Thread durch? Der Eigenraum liegt nicht im, sondern ist der Kern einer linearen Abbildung. Da die Eigenräume alle Teilmengen von

V

sind, musst Du ggf. nur die Abgeschlossenheit bzgl.

+

und

\cdot

prüfen. Dass je zwei Eigenräume nur 0 gemeinsam haben, ist auch schnell gezeigt.
Allerdings wirst Du nicht zeigen können, dass die Summe

V

ergibt, da das

i

a

. falsch ist.
Gruß
Stephan

Fabienne- aktiv_icon

15:45 Uhr, 29.06.2014

In dem anderem Thread wollte ich erstmal nur den generellen Unterschied zwischen den beiden Summen herausfinden.

Muss nicht die Summe der Unterräume V sein, damit man die direkte Summe hat? Das ist doch die Definition?

Hmm, wie zeigt man denn hier die Abgeschlossenheit?

Mathe-Steve aktiv_icon

15:56 Uhr, 29.06.2014

Wieso kommt

V

als Ergebnis der direkten Summe in der Definition vor. Evtl. zitierst Du mal, worauf Du dich beziehst. Anschaulich: Im

R^{3}

kannst Du zwei Ursprungsgeraden wählen. Die direkte Summe ist dann eine Ebene, aber nicht der ganze

R^{3}

. Wenn bekannt ist, dass der Kern ein UVR ist, gibt es nichts zu zeigen, andernfalls rechne A(v+w)=Av+Aw

= λ v + λ w = λ (v + w),

somit liegt mit

v

und

w

auch

v + w

im Eigenraum von

λ

. A*kv = k*Av

= k \cdot λ v = λ \cdot

kv, somit ist mit

v

auch kv im Eigenraum von

λ

Fabienne- aktiv_icon

16:05 Uhr, 29.06.2014

Zu der direkten Summe hatten wir aufgeschrieben:

Ist V ein K-Vektorraum,

(U_{i})_{i \in I}

eine endliche Familie von Unterräumen mit

\sum_{i \in I} U_{i}

, die eine der äquivalten Eigenschaften erfüllt:

1. Zu jedem

v \in V

gibt es eindeutige Vektoren

u_{i} \in U_{i}

mit

v = \sum_{i \in I} u_{i}

U_{j} \cap \sum_{{i \in I}_{i \neq j}} U_{j} = {0}

für alle

j \in I

Dieses

i \neq j

ist jetzt unschön geworden. Das soll eigentlich auch noch unter der Summe stehen. Ich denke du weißt was gemeint ist.

So nennt man V die direkte Summe der U_i und schreibt kurz

V = ⨁_{i \in I} = U_{i}

Mathe-Steve aktiv_icon

16:41 Uhr, 29.06.2014

Die direkte Summe bildet einen VR

V,

aber dieser

V

ist nicht zwingend der VR

V

in deiner Aufgabenstellung. Bloß weil in beiden Zusammenhängen jeweils ein

V

vorkommt, müssen nicht beide dasselbe bedeuten. Dein Zitat fordert ja, das die Summe

V

ist, aber das ist hier nicht verlangt und wie bereits erwähnt, auch nicht richtig.
Dein eigentliches Problem ist ein ganz anderes, nämlich die Bedingung zwei für die direkte Summe zu zeigen, bzw zu zeigen, dass EV zu verschiedenen EW stets linear unabhängig sind. Das ist andererseits eine Standardinduktion, die in jedem linesre Algebra Buch zu finden ist.

Fabienne- aktiv_icon

16:45 Uhr, 29.06.2014

Wenn ich also zeigen kann, dass die Eigenräume jeweils linear unabhängig sind, dann bin ich bereits fertig?

Mathe-Steve aktiv_icon

17:07 Uhr, 29.06.2014

Ja, aber das ist etwas tüftelig.

Fabienne- aktiv_icon

17:26 Uhr, 29.06.2014

Angenommen ich weiß dies bereits, wie würde ich dann am besten notieren, dass ich die Summe tatsächlich durch die direkte Summe ersetzen darf?

Mathe-Steve aktiv_icon

19:07 Uhr, 29.06.2014

Sei $v \in E (λ_{i}) \cap \sum_{\begin{matrix} j = 1 \\ j \neq i \end{matrix}}^{r} E (λ_{j})$ , dann ist $v = \sum_{\begin{matrix} j = 1 \\ j \neq i \end{matrix}}^{r} μ_{j} v_{j} \Leftrightarrow 0 = \sum_{\begin{matrix} j = 1 \\ j \neq i \end{matrix}}^{r} μ_{j} v_{j} - v$ . Weil $v \in E (λ_{i})$ gilt, müsste wegen der linearen Unabhängigkeit rechts die triviale Nullsumme stehen, oder v=0 gelten. Somit v=0.

Fabienne- aktiv_icon

20:14 Uhr, 29.06.2014

Und das ist der ganze Beweis für die Aufgabe?

Mathe-Steve aktiv_icon

21:02 Uhr, 29.06.2014

Wenn Du es geschafft hast zu zeigen, dass Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten linear unabhängig sind, dann schon.

Fabienne- aktiv_icon

21:05 Uhr, 29.06.2014

Ok.

Vielen Dank für die Hilfe.

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