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Diskretes W-Maß auf R

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß

Hannes29912012 aktiv_icon

22:48 Uhr, 17.11.2022

Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe, ein diskretes W-Maß auf

ℝ

(ausgestattet mit der

σ

-Borel-Algebra) zu definieren, dessen Verteilungsfunktion überall streng monoton wächst. Als Hinweis wurde genannt, eine abzählbare Teilmenge zu nehmen, die dicht in

ℝ

liegt. Da käme mir dann natürlich

ℚ

in den Sinn. Nun komme ich mit meinem Ansatz absolut nicht weiter und würde mich über jeden Input freuen, da ich enorm auf dem Schlauch stehe.

Wie auch immer dieses W-Maß

P

aussehen mag, es erfüllt ja dann schonmal

P (ℚ) = 1

. Nun habe ich gedacht (da

ℚ

ja abzählbar ist und es somit eine bijektive Abbildung

ℕ \to ℚ

gibt), eine Verteilung auf

ℕ

zu definieren mit Zähldichte

f (k) = 2^{- k}

für

k \in ℕ

. Danach würde ich die Zufallsvariable

X : ℕ \to ℚ

mit

k \mapsto q_{k}

definieren. Das ergäbe das W-Maß

P^{X}

mit Zähldichte

f_{X} (q_{k}) := f (X^{- 1} {q_{k}}) = f (k) = 2^{- k}

.
danach würde ich gern wie folgt rechnen bzgl. der entsprechenden Verteilungsfunktion

F_{X}

auf

ℝ

: Sei

r \in ℝ

beliebig, dann ist

F_{X} (r) = P^{X} (- \infty, r] = \sum_{q \in ℚ \cap (- \infty, r]} P^{X} (q) = \sum_{k \in ℕ, q_{k} \leq r} f (k) = \sum_{k \in ℕ, q_{k} \leq r} 2^{- k}

.

Hier hänge ich fest. Meines Erachtens nach ist jede dieser Summen unendlich, womit immer

1

rauskäme, was mir nicht richtig scheint. Also ist der Ansatz entweder kompletter Schwachsinn oder ich erkenne irgendwo einen entscheidenden Schritt/Fehler nicht.

Für jede Art von Feedback wäre ich richtig dankbar.
VG Hannes

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

23:08 Uhr, 17.11.2022

Ja, vermutlich kann man so wie von dir skizziert vorgehen, aber es ist doch sehr abstrakt.

Mein Vorschlag wäre eher sowas wie die Umkehrfunktion der de.wikipedia.org/wiki/Cantorfunktion (ist keine exakte Umkehrfunktion, sondern eher sowas wie

sup F^{- 1} ({x})

basierend auf der Urbildfunktion

F^{- 1}

der Cantorfunktion

F

), das kann man sich dann tatsächlich auch bildlich vorstellen. Die wäre natürlich erstmal nur streng monoton wachsend auf

(0, 1)

aber, das kann man durch eine bijektive streng monoton wachsende Funktion

(0, 1) \to ℝ

"breit" ziehen. ;-)

---------------------------

Konkret stelle ich mir folgendes vor: Um die Cantorfunktion für unser Anliegen nutzen zu können, betrachten wir eine streng monoton wachsende stetige Transformationsfunktion

T : ℝ \to (0, 1)

, z.B.

T (x) = \frac{1}{π} \arctan (x) + \frac{1}{2}

oder auch

T (x) = \frac{x + ∣ x ∣ + 1}{2 ∣ x ∣ + 2}

.

Dann betrachten wir für jedes reelle

x

die Binärdarstellung

T (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} 2^{- k}

mit

b_{k} \in {0, 1}

in der Weise, dass es keine 1er-Periode am Ende dieser Darstellung gibt (in so einem Fall gibt es nämlich eine Alternativdarstellung mit 0en-Periode).

Auf Basis dessen definieren wir nun die Verteilungsfunktion der gesuchten Verteilung gemäß

F (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} 2 b_{k} 3^{- k}

.

Für das zugeordnete Wkt-Maß

P

gilt dann

P ({T^{- 1} (m 2^{- n})}) = 3^{- n}

für alle

n \geq 1

sowie alle UNGERADEN

m = 1, 3, 5, \dots, 2^{n} - 1

. Eine kleine Kontrollrechnung ergibt, dass das W-Maß auf dieser abzählbaren Punktmenge dann gleich

\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n - 1} \cdot 3^{- n} = \frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n - 1} = 1

ist, wie es ja auch sein sollte.

Punov aktiv_icon

09:33 Uhr, 18.11.2022

Guten Morgen,

ich möchte nicht ausschließen, dass ich zu einfach denke, aber täte es nicht die Verteilungsfunktion

F (x) = \sum_{n \in ℕ, a_{n} \leq x} 2^{- n}

,

wobei

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine Abzählung der rationalen Zahlen ist?

Dann könnte man das induzierte Maß

P ({x : a < x \leq b}) = F (b) - F (a)

nehmen.

F

ist streng monoton wachsend, denn für

x < y

gibt es ein

a_{n} \in (x, y)

.

Viele Grüße

HAL9000

09:37 Uhr, 18.11.2022

Ja, kann man machen, und das entspricht ja auch dem Vorschlag von Hannes29912012. Ich wollte nur einen Alternative präsentieren, die man auch wirklich KONKRET "zeichnen" kann. ;-)

Punov aktiv_icon

10:05 Uhr, 18.11.2022

Ist auch wirklich ein tolles Beispiel, auf das ich nicht gekommen wäre

@Hannes29912012:
Ich habe mich übrigens an deinem Ansatz orientiert, der war richtig gut.
Deine Befürchtung, dass sich dann immer

P ((- \infty, x]) = 1

ergibt, ist unbegründet, da ja nur über die

n \in ℕ

mit

a_{n} \leq x

summiert wird und nicht über alle

n \in ℕ

Hannes29912012 aktiv_icon

14:49 Uhr, 18.11.2022

@Punov Ich glaube auch, dass ich das hier sehr stark überdenke und mir damit das Leben am Ende schwer mache. Danke für deinen Kommentar!

Hannes29912012 aktiv_icon

14:52 Uhr, 18.11.2022

@HAL9000 Danke für die Alternative! Die ist wirklich viel anschaulicher, mega gut!

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