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Diskretisieren der Wärmeleitungsgleichung

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Diskretisierung, Partielle Differentialgleichungen, Wärmeleitungsgleichung

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22:19 Uhr, 27.06.2018

Hallo zusammen,

wir haben in einern Übung die Wärmeleitungsgleichung diskretisiert. Diese hatte die Form

\frac{\partial T}{\partial t} (x, t) = \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} (x, t)

.
Wir haben mittels der Taylorentwicklung uns eine Näherung für

\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} (x, t)

bestimmt.

Taylorentwicklung:

u (x) = u (x_{0}) + u' (x_{0}) \cdot {(x - x_{0})}^{1} + \frac{u'' (x_{0})}{2!} \cdot {(x - x_{0})}^{2} + . .

.

Wir erhalten für den Punkt

x + h :

u (x + h) \approx u (x) + u' (x) \cdot {(x + h - x)}^{1} + \frac{u'' (x)}{2!} \cdot {(x + h - x)}^{2} \approx u (x) + u' (x) \cdot h + \frac{u'' (x)}{2!} \cdot h^{2}

Und für den Punkt

x - h :

u (x - h) \approx u (x) - u' (x) \cdot h + \frac{u'' (x)}{2!} \cdot h^{2}

Nach der Addition beider erhalten wir:

u (x + h) + u (x - h) = 2 \cdot u (x) + 2 \cdot \frac{u''}{2} \cdot h^{2}

Auflösen nach

u'' (x)

ergibt:

u'' (x) = \frac{1}{h^{2}} \cdot (u (x + h) - 2 \cdot u (x) + u (x - h))

Nun zu meiner Frage:
Wie sieht die Näherung für den Term

\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} (x, t) + e^{T (x, t)}

aus?
Wird

e^{u}

mit einbezogen oder nicht?

Hintergrund: Es geht um die Wärmeleitungsleichung. In der Übung ging es mit einer Anfangsverteilung los und die Temperatur nahm ab. Nun haben wir mit

e^{T (x, t)}

noch einen Quellterm, der weitere Wärme erzeugt.
Bitte für jede Hilfe dankbar!

LG Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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