Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Divergenz der harmonischen Reihe

Divergenz der harmonischen Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

lmnop aktiv_icon

17:35 Uhr, 02.04.2021

Hallo,

könnte mir evtl. jemand erklären, warum die harmonische Reihe nicht konvergiert, die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

aber

z . B

. schon?

LG!

supporter aktiv_icon

17:46 Uhr, 02.04.2021

de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Verwandte_Reihen
http//empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

pwmeyer aktiv_icon

17:50 Uhr, 02.04.2021

Hallo,

den Nachweis der Divergenz der harmonischen Reihe findest du im WEB.

Was die Konvergenz der zweiten Reihe angeht: Es gilt:

\sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{n^{2}} \leq \sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{(n - 1) \cdot n} = \sum_{n = 2}^{m} (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})

= \sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{n - 1} - \sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{n} = \sum_{n = 1}^{m - 1} \frac{1}{n} - \sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{m}

Wie Du siehst, konvergiert die Abschätzung für

m \to \infty

. Daher ist die Ausgangsreihe nach oben beschränkt also konvergent (Majorantenkriterium).

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

17:53 Uhr, 02.04.2021

Hallo,

für

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

gibt es die konvergente Majorante

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}

(man muss allerdings die Indizes anpassen).

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}

ist wegen

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

eine Teleskopreihe, da ist die Konvergenz einfach nachzurechnen.

Mfg Michael

PS: Schon wieder jemand schneller. Sorry, pwmeyer.

lmnop aktiv_icon

18:11 Uhr, 02.04.2021

Danke für die Antworten!

Den Beweis habe ich tatsächlich online gefunden, allerdings besteht mein Problem eher darin, mir das vorzustellen

. .

. Trotzdem vielen Dank für das Aufschreiben!
Wenn ich mir die Reihe

\frac{1}{n}

vorstelle, dann sieht sie so ähnlich aus, wie die ln-Funktion und die Reihe

\frac{1}{m^{2}}

würde ich genauso skizzieren, nur dass diese nicht so schnell steigt.
Es fällt mir schwer, zu verstehen, warum

\frac{1}{m^{2}}

dann nicht auch divergiert. Jedes

\frac{1}{m^{2}}

wird ja auch irgendwann von

\frac{1}{n}

"erreicht". Mir ist bewusst, dass in einem bestimmten Intervall, die Summe der Partialsummen von

\frac{1}{n}

größer ist, als

\frac{1}{m^{2}}

. Aber damit verstehe ich trotzdem nicht, warum die eine Reihe divergent und die andere konvergent ist. Auch wenn

\frac{1}{m^{2}}

schneller ganz klein wird, werden beide Werte sehr klein, aber trotzdem werden doch die Partialsummen immer größer

. .

N8eule

18:59 Uhr, 02.04.2021

Na ja, mit 'Vorstellung' hat das ja auch schwerlich was zu tun.
'Vorstellen' tut man sich ja auch etwas unter Zahlen.
'Vorstellen' kann man sich ja auch alltägliche Größen (Zahlen) wie

>

drei, aller guten Dinge sind drei,

>

sieben, sieben Tage hat die Woche,

> 49,

neunundvierzig Felder hat ein Lotto-Tippschein,

> 365, 365

Tage hat ein Jahr

. .

.
aber schon bei praktikablen Dingen wie

>

wie viele Nägel sind noch in der Nagelschachtel?

>

wie viele Sandkörner passen in meine Hand?

>

sind die

10

Mrd. Euro Wirtschaftshilfe der BRD nun eigentlich viel oder wenig?
wird das mit der Vorstellung allein schon von schnell dahin gesagten Zahlen doch schon sehr schwammig schwer schätzbar.
Ich kann mich entsinnen, dass wir in der Waren-Eingangskontrolle aufgefordert waren, alle Dinge des Wareneingangs auch zu kontrollieren.
Jetzt kam da eines Tages eine Schachtel mit Unterlegscheiben - und wir sind alle da gestanden und haben uns Gedanken gemacht: Wer oder wie sollten wir das nachzählen? Das müssen tausende gewesen sein, oder doch nicht?
Wir waren uns alle einig: mit Schätzen werden wir uns um Faktoren ver-schätzen.
Unsere 'Vorstellung' war da schlichtweg überfordert. Und Nachzählen hätte Stunden gedauert - für ein Pack Unterlegscheiben zu vielleicht

9,99

€.

Aber -
Mathematik schafft ja Werkzeuge, diese Vorstellung aus dem reinen Schätzen heraus zu heben und mit Zahlen, Daten und Fakten zu belegen.
Unterlegscheiben kann man wiegen (Wir haben damals eine geeignete Waage gesucht).
Konvergenzen kann man anhand von Konvergenz-Kriterien untersuchen und belegen.
Das schafft Erweiterung des Verständnisses über das reine 'Schätzen' und 'Vorstellen' hinaus,
das macht die Mathematik so genial, objektiv und Fakten-basiert, dass man eben nicht mehr nur mit 'Vorstellungen' und subjektiven Bauchgefühlen umgehen muss, sondern eben klare Grenzen finden kann.

Um das noch ein wenig abzugrenzen - Mach dir klar:

\sum^{\infty} \frac{1}{n^{1}}

ist divergent.

\sum^{\infty} \frac{1}{n^{x}}

ist konvergent, für beliebige

x,

die auch nur eine Winzigkeit größer als 1 sind.

also

z . B

. schon

\sum^{\infty} \frac{1}{n^{1,0001}}

Wären wir auf unsere 'Vorstellung' angewiesen, unser Bauchgefühl würde nie diese scharfe Abgrenzung zwischen diesem einen oder anderen Fall schaffen.
Aber wir haben ja zum Glück über die 'Vorstellung' hinaus die Mathematik und deren klare Strukturen, Regeln, Logik und Erkenntnisse, die uns diese klare Abgrenzung über die reine 'Vorstellung' hinaus sehr wohl leicht fallen lässt.

lmnop aktiv_icon

12:45 Uhr, 03.04.2021

Herzlichen Dank für die ausführliche Antwort!

1532908

1532871

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?