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Doppelte Nullselle erkennen???

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

harold aktiv_icon

12:19 Uhr, 05.02.2010

Hallo, ich habe eine fürmich wichtige Frage.

Ich sollte das charakteristische Polynom und seine Nullstllen bestimmen.

χ_{φ} (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4

Ich habe dann eine Nullstelle gefunden bei 1.
Per polynom division erhalt man

x^{2} - 4 x + 4

. Setzt man dies in die PQ Formel ein erhält man als weitere Nullstelle 2.

Nun weiß ich aber aus der Lösung das 2 eine doppelte Nullstelle ist. Nur wie hätte ich das ganze am einfahsten erkennen können?

Also ich könnte ja nochmal Polynomdivision anwenden mit

x - 2,

dann erhalte ich nochmal 2 und weiß diese ist doppelt, aber wenn ich

z . b

. 3 eigenwerte habe wird dies umsändlich.

mfg

michaL aktiv_icon

12:50 Uhr, 05.02.2010

Hallo Torben,

dass

x = 2

eine doppelte Nullstelle ist, erkennt man doch schon bei der Anwendung der pq-Formel:

x^{2} - 4 x + 4 = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x_{1, 2} = - \frac{- 4}{2} \pm \sqrt{(- \frac{- 4}{2})^{2} - 4} = 2 \pm 0

Da ergeben sich 2x die Nullstelle

x = 2

.

Übrigens kann man mehrfache Nullstellen erkennen, ohne sie zu berechnen. Dazu bestimmt man die Ableitung des Polynoms und den ggT mit dem Ausgangspolynom. Wenn mehrfache Nullstellen vorliegen, so ist der ggT NICHT 1, d.h. die Polynome haben einen echten gemeinsamen Teiler. Wenn man den faktorisiert, hat man alle mehrfachen Nullstellen.

Dein Beispiel:

p = x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4 \Rightarrow p ʹ = 3 x^{2} - 10 x + 8

ggT (p, p ʹ) = ggT (p - \frac{x}{3} \cdot p ʹ, p ʹ) = ggT (- \frac{5}{3} x^{2} + \frac{16}{3} x - 4, p ʹ) = ggT (5 x^{2} - 16 x + 12, p ʹ) = \dots = x - 2

mit dem euklidischen Algorithmus.
Daran erkennt man, dass bei

x = 2

eine mehrfache Nullstelle vorliegt. Ihre Vielfachheit beträgt genau eins mehr als der Grad im ggT., also dort eine doppelte Nullstelle.

Mfg Michael

harold aktiv_icon

13:08 Uhr, 05.02.2010

Ok also PQ formel hab ich ja auch benutzt, also du meinst man rechnet quasi

2 + 0 = 0

und

2 - 0 = 0

und hat so 2 nullstellen. Ok! vielen Dank dafür.

michaL aktiv_icon

13:22 Uhr, 05.02.2010

Hallo Torben,

im Prinzip richtig, bis auf die Kleinigkeit, dass 2+0 natürlich nicht 0 ist, ebensowenig wie 2-0.

Mfg Michael

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