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Drehachse, Drehmatrix, Drehwinkel im R³

Universität / Fachhochschule

Tags: Drehachse, drehmatrix, Drehwinkel

MacGyver

11:00 Uhr, 14.08.2018

Hallo,

multipliziert man eine Drehmatrix mit einem Vektor

v

aus dem

R 3,

so erhält man einen Bildvektor

v'

v'

ergibt sich aus

v

durch eine Drehung von

v

im Drehwinkel um die Drehachse.

Sind die Zusammenhänge so korrekt beschrieben? Handelt es sich um eine Drehung um oder gegen den Uhrzeigersinn? Wird ausschließlich um den Ursprung gedreht? Würdet ihr meine Erklärung ergänzen und wenn ja, wie

(\in

einfachen Worten)?

Viele Grüße

M.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ledum aktiv_icon

14:42 Uhr, 14.08.2018

Hallo
im

ℝ^{3}

dreht man immer um eine Achse, nicht um einen Punkt, Die Drehmatrix sagt, um welche Achse und um welchen Winkel, üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn, aber etwa 270° gegen Uhrzeiger ist ja auch 90° im Uhrzeigersinn.
Gruß ledum

anonymous

17:11 Uhr, 14.08.2018

Na dann wollen wir mal . Die vollständige Matrix aus allen drei Eulerwinkeln findest du im Herbert Goldstein , " Klassische Mechanik. "
Die erste Drehachse ist Raum fest; die zweite, die

- - >

Knotenlinie, ist Körper fest . So weit ich mich erinnere, ist bei Goldstein Achse 3 mit Achse 1 identisch; Wiki scheint aber eine leicht abweichende Definition zu benutzen.
Deine Frage ist bewreechtigt, der Einwand aber auch ( Ich seh jetzt grad den Namen nicht. )
Im Raum wird nicht um FixPUNKTE , sondern um Fixaxen gedreht . Deine Frage muss dem gemäß heißen:
Was macht man, wenn man um eine Achse drehen will, die nicht durch den Ursprung verläuft?
Ich schreib das erst mal rein formal. Sei

T

die Translationsmatrix, die die durch den Ursprung gehende Drehachse parallel zu sich verschiebt, bis du die Wunschachse erreicht hast. Und

D

sei die Drehmatrix; dann musst du doch offenbar sowas machen:

D' = T D T^{- 1} : : : : : : : : (1)

Jetzt weiß ich nicht, ob dir klar ist, was für ein Ploblem du dir mit Verschiebungsmatrizen einhandelst. Eine Matrix A ist immer homogen,

d . h

A \cdot 0 = 0 : : : : : : (2)

Von einer Verschiebungsmatrix erwarten wir aber gerade, dass sie den Nullpunkt sagen wir nach

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

verschiebt.

Das Dings schimpft sich projektive Geometrie - ich bin da jetzt auch nicht so absolut fit drin . Aber das Folgende nimm dir zu Herzen. Eine vierte Dimension gibt es nämlich wirklich; stell dir einen Turm vor, der sich

1 m

über die

- - \to

Hyperebene des

ℝ

³ erhebt . In der 4 . Dimension kann man bekanntlich zaubern; und unsere Verschiebung nimmt die Gestalt einer Matrix an:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + x \\ b + y \\ c + z \\ 1 \end{matrix}) : : : : : : (3)

Diese Darstellung fand ich übrigens als Student in einem Standardwerk über QM ( " Matrizenmechanik " ) Leider hatte ich sie mir nicht notiert. Meinen Job trat ich später an in einem Welt_elektronikkonzern. Mein Chef Günter Kaufmann, ein passionierter CAD Computergrafiker, kannte ja den Spruch

" Kleine Sünden straft der liebe Gott sofort. "

Weil ich mich nicht mehr so genau an diese projektive Darstellung entsann, erwischte er mich Eis kalt von Hinten. Der war eh ziemlich Respekt los. So begrüßte er etwa jeden Morgen unsere technische Zeichnerin Martina Schatz ( Er war verheiratet, sie nicht )

" Naa Martina_Schätzchen; wie wär's denn mit uns beiden? "

Und zu Kollegen Jörg Haberstroh

" Naa Habermann; was spricht man so in Murxerkreisen? Da muss man schon drei Silvester Mensa studiert haben, um sich so dämlich anzustellen wier sie

. .

. "

Auch ich hatte einen despektierlichen Spitznamen ( und gehe auf Wunsch gerne auf dieses Tema ein. )

Kaufmann hatte eben so Sprüche

" Wer's richtig macht, der verwaltet die Translationen in der großen Grafik Transformationsmatrix.
Und die, die es nicht so machen, sind einfacb Idioten. "

Oder auch

" Früher hat man einfach gesagt, wer nicht lesen kann, ist bek loppt. Heut sind solche Leute gesellschaftsfähig; da hofiert man sie und schimpft sie Legasteniker

. .

. "

anonymous

17:25 Uhr, 14.08.2018

Ach ich wusste doch . Ich hatte noch eine Frage von dir vergessen; Tema Drehsinn .

Im Raum entsprechen die drei Achsen

x, y

und

z

der Dreifingerregel der rechten Hand . Der Daumen weist in die positive x_Richtung, Zeigefinger

= y

und Mittelfinger

= z

. ( Brich dir aber nicht das Handgelenk. )

Wenn du nun ein solches rechtshändiges Koordinatensystem eingeführt hast, dann wird der positive Drehsinn fest gelegt durch die rechte_Faust_Regel .
Wenn der Daumen in Richtung der positiven Achse zeigt, geben die zur Faust gekrümmten Finger den positiven Drehsinn um besagte Achse .

MacGyver

19:24 Uhr, 15.08.2018

Danke für eure ausführlichen Antworten! Meine Fragestellung war nicht ganz korrekt. Es sollte eigentlich heißen: "Wird mit Drehmatrizen ausschließlich um Drehachsen gedreht, die durch den Ursprung verlaufen"? Das scheint also möglich zu sein, allerdings übersteigen Verschiebungsmatrizen die Anforderungen der Vorlesung. ;-)

ermanus aktiv_icon

19:44 Uhr, 15.08.2018

Hallo,
die Multiplikation mit einer Drehmatrix ist eine lineare Abbildung.
Daraus ergibt sich u.a. dass der Ursprung auf sich abgebidet wird
(Null des Vektorraumes). Die Fixgerade muss also durch 0 gehen, da sie
ja ein 1-dimensionaler Unterraum ist.
Gruß ermanus

anonymous

21:07 Uhr, 15.08.2018

Die Verschiebungsmatrix ist er Art elementar. Du kannst doch sofort nachrechnen, dass ein beliebiger Vektor

(a, b, c)

verschoben wird nach

(a + x, b + y

c + z)

OPder ist dir das nicht klar?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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