 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Drehung und Projektion
Drehung und Projektion
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Linear Abbildung
 
|
  |
|---|
|
Guten Abend:-), Ich hätte ein paar Fragen bezüglich Drehmatrizen und Projektionen. 1. Eine Drehmatrix kann doch zwei Anwendungsbereiche haben. Zunächst kann eine Marix gegeben sein und man muss prüfen, ob sie eine Drehmatrix ( das nur im R^3?) oder man muss eine Punkt um eine Koordinatenachse drehen, ist das so richtig? 2. Diese Frage knüpft an die aus der 1 an. Im ist ja allgemein bei einer Drehmatrix eine Drehung um die Fixpunkt gerade beschrieben, sprich man gibt einen punkt ein und das Bild was durch die Abbildung entsteht, wird um einen bestimmten Winkel um diese Fixpunktgerade gedreht ? 3. Eine Drehmatrix hat ja die Voraussetzung, dass sie und orthogonal sein muss. Jetzt ist es ja bei Projektionen ja so, dass die Bilder der Funktion eine Fixpunktmenge darstellen, das ja gilt . -Normalerweise haben ja linearen Abbildungen im ja maximal eine Fixpunktgerade, weshalb eine Drehung um diese Gerade bei einer Drehmatrix verständlich ist. Was aber wenn es sich hierbei um eine Projektion handelt und im ist das doch zwangsläufig eine Fixpunktebene? Wenn ja müsste sich doch eine Projektion und eine Drehmatrix gegenseitig ausschließen, weil wie sonst kann um eine Ebene gedreht werden?( Drehmatrix im dreht ja anscheinend um die Fixpunktgerade). |
|
 |
|
Hallo im dreht man um eine Achse, die dann fixpunktgerade ist. im dreht man um einen Punkt. zu meist muss man einfach fesstellen was eine matrix geometrisch tut, drehen, spiegeln und nicht nur um loordinatenachsen man muss auch Drehungen um die Gerade oder so angeben können, Drehungen und Projektion : du kannst erst drehen, dann projizieren , oder erst projizieren, dann drehen, dann ird eben deine Ebene um einen Punkt gedreht? Gruß ledum |
 |
|
Danke für deine Antwort:-) weißt du was diese Formel mit einem gegebenen Bild macht. Also bei mir sagt es, es wäre die senkrecht Projektion auf die Ursprungsgerade denke das gilt hier nur für Ich habe das ausprobiert an einem Beispiel und da kommt ( da stehender Vektor mal liegender Vektor) eine Matrix raus. Aber was genau macht so eine Matrix. Zum Punkt kann ich sagen, dass er anscheinend der Richtungsvektor dieser Ursprungsebene sein soll. Und diese Formel macht ja aus diesem Vektor eine Matrix. Heißt das, dass diese Matrix dafür sorgt, dass jeder Punkt aus dem auf diese Gerade abgebildet wird? es heißt ja es wäre die senkrecht projektion. |
|
|
|
Hallo, eine Projektion hat immer einen nichttrivialen Kern, eine darstellende Matrix hat somit die Determinante . kann also keine Drehung sein. Gruß ermanus |
|
|
|
Also eine Projektion schließt eine Drehung aus? Und wie ist es mit der Formel bei meinem letzten Beitrag. Was sagt sie aus. Wenn ein Bild ist, wie ist die durch hergestellte Matrix zu deuten? Bildet sie jeden Punkt den man einsetzt auf die Ursprungsgerade mit dem Richtungsvektor von ab? oder gilt sie nur für das Abbild, also ? Also es geht bei der Formel ja um eine senkrechte Projektion, ist diese dann nur für die Verbindunglinie von und mit der Ursprungsgerade mit Richtungsvektor eine senkrechte Projektion, oder wird jeder Punkt/Vektor, den man durch diese von enstandene Matrix laufen lässt senkrecht auf diese Ursprungsgerade mit Richtungsvektor projeziert? In Geogebra habe ich versucht das graphisch nachzuvollziehen. Ich kam da zur Erkenntnis , dass jeder Punkt, der eine vielfaches von vom ist, sprich wenn ist, da wurden nur die Punkte senkrecht auf diese Ursprungsgerade abgebildet, die ein vielfaches von sind. Ich wollte, dass nur nochmal erwähnen, habe ich das irgendwie falsch gesehen oder ist das wirklich so? |
|
|
|
So hier mal ein Bild. Man erzegt eine Gerade in dem man das Bild als Richtungsvektor der Gerade nimmt. Da habe ich jeweils Punkte ausgewählt, die ein Vielfaches von sind, . Diese werden wenn man sie durch die Matrix( die durch die Formel weiter oben durch entsteht) auf die Gerade mit dem Richtungsvekor abgebildet, man sieht die Bilder von den Punkten die mit ' gekennzeichnet sind, landen direkt auf die Gerade und ihre Verbindungsgerade/linie mit dem Abbild bilden Grad mit der Geraden. Das beweißt ja die Senkrechte Projektion, aber sobald ein Punkt ausgewält wird, welcher nicht ein Vielfaches von ist wie . wird nicht auf die Gerade mit dem Richtungsvektor abgebildet. Ist das eine Eigenschaft von senkrechten Projektionen ? Das sie nur solche Punkte senkrecht projezieren? Als Bild ist gewählt in dem Beispiel auf dem Bild. Und bei der Formel oben muss der Betrag noch quadriert werden, mein Fehler:-D)  |
|
|
|
Nun zu deinem speziellen , das sogar allgemein im mit als Matrix funktionert. Für einen beliebigen Vektor (ich lasse mal die lästigen Pfeile weg) ist die orthogonale Projektion von auf die Gerade mit dem Richtungsvektor . Es ist ja . Dabei ist das normale Skalarprodukt von und , das die "Länge" der Projektion von in Richtung angibt, und ist der Einheitsvektor in Richtung . Steht jetzt senkrecht auf der durch gegebenen Geraden, so ist , also für ale Vektoren, die zu senkrecht sind. Ferner ist und damit auch für alle Vektoren , die in der Geraden liegen. |
|
|
|
"Für einen beliebigen Vektor (ich lasse mal die lästigen Pfeile weg) ist P⋅w die orthogonale Projektion von auf die Gerade mit dem Richtungsvektor v" Also heißt es, dass ein Vektor aus der Definitionsmenge ist und das Bild bzw irgendeinvektor, welches vorher gegeben ist und worauf als Ursprungsgerade projeziert werden soll? Bezüglich meinenes letzten Posts, ist es das was du meinst oder sehe ich es fasch? Also habe ich das falsch oder richtig verstanden meinem Post mit dem Bild zur Folge? Bei meiner einen Aufgabe ist es so, dass ich . einen Vektor vorgegeben habe, welcher als Ursprungsgerade genutzt wird, auf die projeziert werden soll. Für welche Punkte ist diese Projektion gedacht? Nur für das Abbild von oder für alle Punkte aus dem ? Wenn es für alle Punkte aus dem als Projektion dient, warum wird dann bei meinem Beispiel( im Bild) der Vektor nicht auf die gerade senkrecht projeziert? |
|
|
|
Irgendwas stimmt da noch nicht. Das Bild von unter ist . Das kannst du ja leicht nachrechnen. Das Bild jedes Vektors liegt in der -Geraden. Du musst vom Endpunkt von das Lot auf die Gerade fällen. Der Fusspunkt liegt dann doch immer auf der -Geraden. |
 |
|
Also die Matrix wird doch wie folgt berechnet: (V*V^T)/(Betrag für kommt die Matrix( ich weiß nicht wie man hier eine Matrix darstellt) Matrix mit spalte und Spalte 2 mit raus. |
|
|
|
Wieso nimmst du den Betrag hoch 2 ? So steht es nicht in der Formel für . |
|
|
|
Also ich habe da einen Fehler bei der Matrizenmultiplikation zwischen und gemacht, habe jetzt das Resultat, dass egal welcher Punkt, der im gewählt wird, immer auf diese Gerade projeziert wird. Also allgemein zum Verständnis, wenn man mit einem Vektor die Ursprungsgerade bildet, und will das jeder Punkt im auf diese Gerade senkrecht projeziert wird, muss man die Matrix bilden und dann ist das erledigt? die Formel die ich oben erwähnt habe, hat den Betrag ins Quadrat gegeben, ich habe nur vergessen es hin zu schreiben. |
|
|
|
Ja, genau so bestimmst du dein und bist sozusagen fertig. Stimmt, der Betrag muss ins Quadrat genommen werden. Das ist mir gar nicht aufgefallen :( |
|
|
|
Ja nicht schlimm :-D) habe es jetzt verstanden und danke für deine Hilfe!:-) |
1435348
1435301