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Drehung zweier Vektoren mittels Drehmatrix

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Tags: Gruppen, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung, Vektorraum

MeinNichkname aktiv_icon

18:59 Uhr, 27.05.2013

Hallo,

ich befinde mich im

ℝ^{3}

und habe zwei Vektoren

v_{1} = (1, - 1, 0)^{T}

und

v_{2} = (1, 0, 1)

. Nun soll eine Drehung

ϕ

bestimmt werden, die

v_{1}

v_{2}

abbildet.

(1) Dafür soll zunächst die Drehachse bestimmt werden: Kein Problem, sie ergibt sich mittels dem Kreuzprodukt der beiden Vektoren. Anschließend habe ich das Ding noch normalisiert und

n = \frac{1}{\sqrt{3}} (- 1, - 1, 1)^{T}

erhalten.

(2) Nun soll die darstellende Matrix

[ϕ]_{B}

bezüglich einer geeigneten Orthonormalbasis

B

des

ℝ^{3}

bestimmt werden ...

Nun, ich denke unsere Matrix ist von der Form

A \in S O (3)

. Also ist die Determinante dieser Matrix

1

und folglich

1

ein Eigenwert von

A

. Nun ist

n

Eigenvektor zum EIgenwert

1

A

lässt also die Gerade

ℝ n

invariant. Ebenso die Ebene

E = (ℝ n)^{⊥}

Nun ergänze ich

n

zu einer Basis des

ℝ^{3}

und finde

(n, e_{1}, e_{2})

als Basis. Nun orthogonalisiere ich diese mittels Gram-Schmidt und erhalte eine Basis der Form

(n, b_{1}, b_{2})

.

Doch wie geht es weiter? Natürlich kann ich die beiden Vektoren mittels dieser Basis darstellen. Zudem habe ich eine Drehmatrix mit den Zeilen

(1, 0, 0), (0, c o s (t), - s i n (t))

und

(0, s i n (t), c o s (t))

. Diese leistet eine Drehung in der Ebene

E

.

Doch wie sieht dann meine echte Drehmatrix aus, mit der ich

v_{1}

nach

v_{2}

drehen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MeinNichkname aktiv_icon

21:20 Uhr, 27.05.2013

Ich vermute, dass ich die Matrix so nehmen kann und nur einen Basiswechsel (von meiner orthonormalen Basis hin zu der Standardbasis) durchführen muss. Den Winkel kann ich ja durch