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Drehzentrum gesucht

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Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Drehung, Drehzentrum, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung

dkore aktiv_icon

22:50 Uhr, 25.02.2013

Hallo!

Folgende Aufgabe:

Gegeben ist die affine Abbildung

f : R^{2} \to R^{2}

p_{1} = (\begin{array}{rcl} 7 \\ - 1 \end{array})

p_{2} = (\begin{array}{rcl} 5, 5 \\ 1 \end{array})

q_{1} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 3 \end{array})

q_{2} = (\begin{array}{rcl} - 2, 5 \\ 1 \end{array})

Man soll zeigen, dass

f (p_{i}) = q_{i}

mit

i = 1, 2

Drehung um Drehzentrum z ist.
Gesucht sind Drehmatrix A, Vektor t und Drehzentrum z.

Mit der Matrix und dem Vektor hatte ich keine Probleme.

A = (\begin{array}{rcl} \frac{- 7}{25} & \frac{- 24}{25} \\ \frac{24}{25} & \frac{- 7}{25} \end{array})

t = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 4 \end{array})

Nur mit dem Drehzentrum habe ich so meine Schwierigkeiten.
Ich habe sogar eine Musterlösung gefunden, doch ist mir am Ende die Rechenschritte nicht klar, die dort gemacht werden.
Vielleicht kann mir jemand weiter helfen und mir die Lösung Zweile für Zeile erklären.
Vielleicht gibt es auch eine alternative Lösung?

Hier die Musterlösung:

z = (E - D_{φ})^{- 1} \cdot t

mit

(E - D_{φ})^{- 1} = (\frac{1}{25} (\begin{array}{rcl} 32 & 24 \\ - 24 & 32 \end{array}))^{- 1} = (\frac{8}{25} (\begin{array}{rcl} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{array}))^{- 1} = \frac{25}{8} \cdot {(\begin{array}{rcl} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{array})}^{- 1} =

[Die letzen zwei Rechenschritte ab hier sind mir leider ein Rätsel... wo kommt das

\frac{1}{25}

her?]

= \frac{25}{8} \cdot \frac{1}{25} (\begin{array}{rcl} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{array}) = \frac{1}{8} (\begin{array}{rcl} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{array})

folgt

z = (\begin{array}{rcl} 1, 5 \\ - 2 \end{array})

Ich würde mich freuen, wenn mir da jemand weiter helfen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

23:02 Uhr, 25.02.2013

"Nur mit dem Drehzentrum habe ich so meine Schwierigkeiten.

Vielleicht gibt es auch eine alternative Lösung?"

\to

wie wäre es ganz einfach mit elementargeometrischer Überlegung:

das Drehzentrum

Z

ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

m_{1}

und

m_{2} \to

wobei

m_{1}

Mittelsenkrechte auf

P_{1} Q_{1}

und

m_{2}

Mittelsenkrechte auf

P_{2} Q_{2}

warum wohl?

übrigens:

Z

hat dann diese Koordinaten

: Z (+ \frac{3}{2} | - 2)

dkore aktiv_icon

14:19 Uhr, 26.02.2013

Danke für die schnelle Antwort. Mit den Mittelsenkrechten wars kein Problem.

Würde trotzdem nochmal nachfragen, ob denn jemand weiß, wo dieses "

\frac{1}{25}

" herkommt.

\frac{25}{8} \cdot {(\begin{array}{rcl} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{array})}^{- 1} = \frac{25}{8} \cdot \frac{1}{25} (\begin{array}{rcl} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{array}) = \frac{1}{8} (\begin{array}{rcl} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{array})

Vielen lieben Dank!

anonymous

15:14 Uhr, 01.03.2013

Das entsteht einfach beim Invertieren der Matrix:

(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 0 & 25 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{matrix})

(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{3}{25} & \frac{4}{25} \end{matrix})

(\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{16}{25} & - \frac{12}{25} \\ \frac{3}{25} & \frac{4}{25} \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{4}{25} & - \frac{3}{25} \\ \frac{3}{25} & \frac{4}{25} \end{matrix})

{(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{4}{25} & - \frac{3}{25} \\ \frac{3}{25} & \frac{4}{25} \end{matrix}) = \frac{1}{25} \cdot (\begin{matrix} 4 & - 3 \\ 3 & 4 \end{matrix})

Die

25

entspricht hierbei der Determinante von

(\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})

. Denn es gilt:

M^{- 1} = \frac{1}{det (M)} \cdot a d j (M)

Im zweidimensionalen Fall also:

{(\begin{matrix} m_{1, 1} & m_{1, 2} \\ m_{2, 1} & m_{2, 2} \end{matrix})}^{- 1} = \frac{1}{m_{1, 1} \cdot m_{2, 2} - m {1, 2} \cdot m_{2, 1}} \cdot (\begin{matrix} m_{2, 2} & - m_{1, 2} \\ - m_{2, 1} & m_{1, 1} \end{matrix})

Edit:

Mir ist aufgefallen, dass bei der "Musterlösung" bei

\frac{25}{8} \cdot \frac{1}{25} \cdot (\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})

ein Vorzeichenfehler vorliegt. Richtig wäre:

\frac{25}{8} \cdot \frac{1}{25} \cdot (\begin{matrix} 4 & - 3 \\ 3 & 4 \end{matrix})

Und dein

t

aus deinem ersten Beitrag hat auch ein falsches Vorzeichen. Es müsste

(\begin{matrix} 0 \\ - 4 \end{matrix})

statt

(\begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix})

sein.

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