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Drei Punkte - eine Normalengleichung?
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: eben, Normalengleichung, Vektor
 
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Hallo, ich komm einfach nicht drauf wie ich die Aufgabe lösen soll, sie lautet: Drei Punkte und legen eine Ebene fest. Bestimmen sie eine Koordinaten- und eine Normalengleichung von E. Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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was brauchst Du für die Parameterform der Ebenengleichung (ich nehme an das meinst Du mit Koordinatengleichung)? |
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Ich meine mit Koordinatengleichung die Gleichung wobei das Skalaprodukt aus dem Stützverktor und dem Normalenvektor ist. Ich glaube das ich was anderes als Parametergleichung!? |
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Ach so, dann sag mir bitte noch was Ihr unter "Normalengleichung" versteht |
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ok, habt Ihr schon das Kreuzprodukt Vektorprodukt) durchgenommen? |
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Nein, kann mich zumindest nicht daran erinner nur Skalarprodukt |
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Also, um die Normalengleichung aufzustellen, braucht man ja einen Vektor, der senkrecht auf der gesuchten Ebene steht. Da die Punkte und relativ einfach sind, hast Du vielleicht eine Idee, wie Du einen Normalenvektor der gesuchten Ebene finden könntest? |
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Ne, das ist ja das Problem |
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gut, dann rechne doch bitte mal den Vektor aus (also den Vektor, der von nach zeigt, Dieser Vektor ist ja paralell zur Ebene . |
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hm, ich hab mal gelernt, dass Dein Vektor zeigt in die andere Richtung ;-) Jetzt rechne bitte noch den Vektor aus. Ist dieser Vektor auch parallel zur Ebene in der und liegen? |
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? Ich hätt jetzt mal gesagt dass es auch paralell sein muss |
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gut. Da diese beiden Vektoren so schön einfach sind, hast Du jetzt eine Idee, wie ein Vektor aussehen könnte, der zu beiden senkrecht steht? |
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Ne keine ahnung. Geraten würd ich sagen |
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gut geraten. jetzt hast Du also einen Normalenvektor "geraten" nun solltest Du zumindest deine Normalengleichung für die Ebene aufstellen können ;-) |
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Ja okay danke, den rest bekomm ich hin, aber in der sind die Zahlen schwieriger, da ist und dann sind die Vektoren (B,A)=((2),(1),(-1))und ((-2),(3),(1))wie mach ich das dann? |
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bist Du Dir sicher, dass Du das Vektorprodukt noch nicht in der Schule hattest? Du kannst auch mit dem Skalarprodukt arbeiten, dann musst Du aber bei folgende Skalarprodukte aufstellen: und dann noch einen Vektor ausrechen, zB. und mit diesem denn Du suchst ja einen Vektor der skalar mit einem Vektor der Ebene multipliziert null ergibt (senkrecht auf der Ebene steht). Das sind dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Daraus ergeben sich dann die Komponeneten und des Normalenvektors. |
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Naja, das Standardverfahren ist doch sich eine Parametergleichung zu bauen und die dann durch Eliminieren der Parameter in die Normalenform zu überführen: Also: dann hast Du ind diesem Fall sehr einfach, weil und nicht in der z-Gleichung enthalten sind, werden also, was immer für Sie aus den und y-GLeichungen zu ermitteln wäre zu Null. ist damit die Normalengleichung der Ebene... Alles klar...? |
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Ich hab den genommen, geht das auch? Weil dann wäre der ? |
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Du musst schon etwas ausführlicher Rückfragen, so weiss keiner auf was Du Dich beziehst... und eine Ebene mit dem Nullvektor als Normlenvektor - wie soll das gehen? |
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Stimmt, das war wohl keine so gute Idee. Aber ich versteh das ganze System nicht. Also das mit den drei Gleichungen durch ein Skalarprodukt hab ich noch verstanden, aber wenn ich das genau so mache wie funke_61 das Beschrieben hat dann komm ich nur auf 2 Gleichungen, weil die 1. und die 3. Identisch sind. |
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Das hab ich gemerkt und deshalb wollte ich Dich auch von der funke_61 Lösung abbringen und das allgemein übliche Standardverfahren ansprechen. Wenn DU mir folgen willst, dann stelle die Parametergleichung der Ebene auf, wie oben beschrieben... |
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Gut, ich schreibe nun die Gleichungen koordinatenweise auf Nun betrachen wir 2 der Gleichungen als GLS und lösen es nach auf. Ich würde die und Gleichungen nehmen, also und erhalten wir haben für und einen Ausdruck bekommen der nur noch die Koordinaten enthält. Das setzen wir nun in die verbliebene x-GLeichung ein und haben die Normalenform der Ebene, weil wir die Parameter rausgeschmissen haben - kommst DU mit den zwischenschritten klar? |
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Naja mir ist noch nicht ganz ersichtlich wie du auf das . und . kommst, also das, was man dann schlussendlich einsetzen soll in die x-Gleichung |
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Du hast 2 Gleichungen aus den und Koordinaten, die nach den zwei Parametern aufgelöst werden. Du wendest Dein Lösungsalgorithmus zum Lösen des Gleichungsystems an! Du kannst doch ein GLS mit zwei Unbekannten (Parameter lösen? |
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ganz ehrlich, im moment grad nicht ich find keinen ansatz wie ich das machen soll/muss |
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Naja, funke_61 wollte ein GLeichungssystem mit 3 Unbekannten lösen, das machen wir aber billiger, oder z=s−r unstellen nach . einsetzen in y=2-s-3⋅r umstellen nach . einsetzen in z-Koordinatengleichung und umstellen . fertig GLS, gelöst und einsetzen in x-Koordinatengleichung aufräumen Ergebnis siehe oben |
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ach bei mir kommt das alles nicht raus ist doch scheiße |
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Sag eine Lady sowas ;-) also z=s−r unstellen nach einsetzen in 2-s-3⋅r 2-s-3⋅(s umstellen nach so jetzt haben wir einsetzen in z-Koordinatengleichung und umstellen fertig GLS, gelöst und einsetzen in x-Koordinatengleichung aufräumen |
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bei dieser Ebene geht die Umformung so viel schneller: aus der Parameterform: Ziel ist es durch Additionsverfahren und zu eliminieren 3. Zeile mit 2 multiplizieren und zur ersten addieren: die Parameter und sind rausgeflogen, damit hat man die Koordinatenform der Ebene: |
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Vielen Dank an Euch Drei Pastrocio, maxsymca und michael. Bei mir liegt die Schulzeit schon sehr lange zurück. Um aber nicht aus der Übung zu kommen und weil ich gern in Mathe helfe, treib ich mich hier rum. Sorry, wenn ich manchmal den direkten Weg nicht kenne. aber gerade mit diesem Thread hab ich wieder viel dazugelernt. Irgendwie dachte ich mir, dass Pastroio die Parameterform noch nicht kennt . und hab versucht diese zu umgehen . hätte wohl besser nachfragen sollen. ;-) |
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aber wieso fällt die y-gleichung einfach weg, die is doch immer noch vorhanden?? |
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es müsste doch heißen: |
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michael777 hat oben sehr gut beschrieben, wie man von der Parameterform zur Koordinatenform gelangen kann. Sobald Du (aus den drei Komponentengleichungen) eine Gleichung ohne und hergestellt hast, ist dies automatisch die Koordinatenform, egal wieviele der drei Gleichungen dazu verwendet wurden! Im Beispiel ist zwar richtig, aber uninteressant. Das heißt nur, dass beliebig ist. Die y-Achse liegt hier parallel zu unserer Ebene. |
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