Dreifachintegral Grenzen?

Die Angabe der Aufgabe lautet wie folgt:

Berechnen Sie das Integral:

${\displaystyle \int \int \underset{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }{({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)}^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

wobei B jener Körper ist der durch die Fläche x^2+y^2=1, z=0 und z=4 begrenzt wird.

Nun meine Frage: Wie werden die Grenzen korrekt bestimmt und wie lauten diese.

Meine überlegung war, dass x^2+y^2=1 (Kreis) die Grundfläche ist und so y=+-(1-x^2)^(1/2) als Grenze verwendet werden kann.

0 =< z =< 4

-(1-x^2)^(1/2) =< y =< +(1-x^2)^(1/2)

x???

Noch eine kleine verständnissfrage wie kann man (x^2+y^2)^2 im Integral geometrisch deuten?

Ich hoffe es kann mir jemand helfen bin am verzweifeln.

Danke!

So habe es nun überprüft. Jedoch ist wieder eine kleine Frage aufgetaucht.

Die Grenzen für die Berechnung mit Zylinderkoodinaten habe ich wie folgt berechnet:

${\displaystyle {\int }_0^4{\int }_0^{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^1{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^5\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Mit der Umrechnung in Zylinderkoordinaten komme ich jedoch nur auf r^4 für das ergebnis von 4*Pi/3 benötigt man jedoch r^5. Kann mir das jemand erklären?

Und ja es ist so wirklich viel einfacher!!!