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Dualraum von (V/U)
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Dualraum, faktorraum
 
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Guten Abend, Ich lerne momentan für eine Lineare Algebra I Klausur und möchte folgendes beweisen: Ist V ein K-VR und U Teilraum von V, so gilt: (V/U)* ist isomorph zu U', wobei (V/U)* der Dualraum zu V/U und U' der Annihilator (anderswo auch "Annulator" genannt) von U sein soll. Nun weiß ich nicht recht, was denn eigentlich (V/U)* sein soll, mit V*/U* könnte ich ja noch arbeiten, und dann mittels Homomorphiesatz einen Isomorphismus zeigen, aber so bin ich ratlos. Wäre (V/U)* = V*/U* oder (V/U)* isomorph zu V*/U* würde das mein Problem auch lösen. Ich bin dankbar für jeden Tipp/Lösung :-) lg. MadPotato Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, auf die Schnelle würde ich so beginnen: Es ist - wenn ich nicht irre - Ich würde nun folgende Zuordnungsvorschrift betrachten: , wobei definiert ist als die Linearform . Man muss zeigen, dass wohldefiniert ist und bijektiv. Ich hoffe, dass es so funktioniert ;-) Gruß ermanus |
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Ich bedanke mich zunächst :-) Linearität: Seien f*, g* aus U', a aus Körper K, dann folgt für alle v + U aus V/U phi(af* + g*)(v + U) = (af* + g*)(v) = (af*)(v) + g*(v) = a(f*(v)) + g*(v) = a*phi(f*)(v + U) + phi(g*)(v + U). also phi(af* + g*) = a*phi(f*) + phi(g*). Wohldefiniertheit: Ist f* aus U' und [v],[w] aus V/U mit [v] = [w] also v + U = w + U <=> v - w liegt in U, dann folgt phi(f*)(v + U) = phi(f*)(w + U), denn: phi(f*)(v + U) - phi(f*)(w + U) = phi(f*)((v + U) - (w + U)) = phi(f*)((v - w) + U) = phi(f*)(U) = phi(f*)(0) = 0. Surjektivität: Definiert man zu g aus (V/U)* , f* mit f*(v) = g(v + U) für alle v aus V => phi(f*) = g. Injektivität: sind f*,g* aus U' mit phi(f*) = phi(g*), dann folgt für alle v + U aus V/U: (phi(f*)-phi(g*))(v + U) = 0 <=> phi(f*)(v + U) - phi(g*)(v + U) = f*(v) - g*(v) = 0 also f* = g*. Damit ist die definierte Abbildung ein Isomorphismus, also U' isomorph zu (V/U)*. Ist das soweit richtig ? Desweiteren habe ich von einem Kommilitonen noch folgende Lösung bekommen: Bekannt ist in unserer Vorlesung: ist V ein K-VR und U Teilraum von V, so gilt: U* ist isomorph zu V*/U'. Verwendet man dies auf U' Teilraum von V*, so folgt: (U')* ist isomorph zu (V*)*/(U')" isomorph zu V/U woraus folgt U' isomorph zu (V/U)*, wobei " die Umkehrabbildung zu ' sein soll. wo nun auf einmal " herkommen soll verstehe ich nicht, vielleicht handelt es sich dabei auch um einen Rechtschreibfehler, und es soll (V*)*/(U')' heißen wobei ich mir dann (U')' isomorph zu U nicht erklären kann. :| |
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Hallo, das gefällt mir alles gut. Ein kleiner Rat wg. Zeitersparnis in Klausur: Injektivität einer linearen Abbildung würde ich immer mit dem Nachweis von beweisen. Damit spart man meist etwas Zeit. Den anderen "Kommilitonen-Beweis" kann ich heute aus Zeitgründen nicht mehr nachvollziehen :( Gruß ermanus |
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Kein Thema ;-) du hast mir bereits sehr geholfen. Ja an die Methode Mit Kern(phi)={0} dachte ich auch zuerst, aber ich wollte nicht einfach, "der Kern von phi ist offensichtlich {0}" hinschreiben, oder würde das schon ausreichen ? Oder eher das Argument: ist f* aus U'\{0} so ex. v aus V-U mit f*(v) != 0 => phi(f*)(v + U) = f*(v + U) = f*(v) != 0 also Kern(phi) = {0} ? |
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