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Durchstoßpunkt durch Ebene und Gerade berechnen

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: durchstoßpunkt, eben, Gegenseitige Lage, Gerade

schweegi aktiv_icon

18:38 Uhr, 25.04.2010

Hallo.

Ich verzweifel gerade an Mathe, auch wenns wahrscheinlich was simples ist

. .

.
Ich soll aus einer Ebene und einer Geraden den Durchstoßpunkt berechnen.
Doch ich bleibe im Additionsverfahren hängen (wir sollen nur das verwenden).

Die Aufgabe:

g :

(Vektor)

x = (\frac{1}{0} / 1) + t (\frac{2}{1} / 0), E :

(Vektor)

x = (\frac{1}{2} / 3) + s (\frac{0}{0} / 1) + t (\frac{0}{1} / 0)

(Das ganze sind natürlich keine Brüche sondern normale Zahlen die hintereinander müssen, aber irgendwie macht dieses Forum ja Brüche daraus.. )

Das ganze muss ich dann gleichsetzen, aber ich bleibe bei den Gleichungen stecken:
I

1 + 2 t = 1

t = 2 + t

III

1 = 2 + s

Frage: Wie soll ich das gleichsetzen bzw. muss ich da ja erstmal das

t

und

s

eliminieren. Wie bekomme ich das denn hin, wenn mir

z . B

. bei Gleichung I und II das

s

fehlt und bei Gleichung I und III das t? Ich kann das ja schlecht einfach so dazu schreiben, wenn das eigentlich 0 ist.

Danke im vorraus.. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

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johannes2010 aktiv_icon

18:54 Uhr, 25.04.2010

Dir muss klar sein, dass das

t

in der Geradengleichung nicht dem

t

der Ebenengleichung entspricht!

Gerade:

g = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + λ (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

Ebene:

x = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + s (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

Differenz:

x - g = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) - λ (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - λ (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

Jetzt sieht man, dass
a)

λ = 0

(1te Zeile)
b)

t = - 2

(2te Zeile)
c)

s = - 2

(3te Zeile)
sein muss.
Heißt: Der Durchstoßpunkt ist

D = (1 ∖ 0 ∖ 1)

schweegi aktiv_icon

19:20 Uhr, 25.04.2010

Danke für deine Bemühungen.
Was genau bedeutet das Zeichen "λ"?
Und wie kommst du in Zeile 2 und 3 auf

- 2

? Weil da stehts ja positiv in der Klammer drin..
Oder ist das wieder dieser Ausnahmefall, wo man eine Zahl aus einer Klammer die man zu einem Punkt herausschreibt negativ stellen muss bzw. vom negativen ins positive?

johannes2010 aktiv_icon

19:23 Uhr, 25.04.2010

das

λ

ersetzt dein

t

(nur um zu verdeutlichen, dass es unterschiedliche Variablen sind).
Die einzelnen Zeilen müssen erfüllt sein:
z.B.:

0 = 2 + s \cdot 1

0 = 2 - 2 \cdot 1

Also:

s = - 2

schweegi aktiv_icon

23:36 Uhr, 25.04.2010

Ich verstehe das mit dem "erfüllen" von dir noch nicht so ganz. Ich hab das mal nach deiner Schreibweise mit einer weiteren Aufgabe gemacht, weil wir nehmen normal immer das Additionsverfahren und bilden 3 Gleichungen

. .

g : x =

(2\0\3)+t=(5\1\1),

E : x =

(1\0\0)+s(0\1\1)+t(1\0\1)

\to

Gleichsetzen:
(0\0\0)=(1\0\0)-(2\0\3)-t(5\1\1)+s(0\1\1)+t(1\0\1)
(0\0\0)=(-1\0\-3)-t(5\1\1)+s(0\1\1)+t(1\0\1)

Aber wie komme ich da nun weiter? muss ich jetzt die erste Zeile ausrechnen und dort eine Zahl einsetzen oder wie? Weil ich ja den Durchstoßpunkt rauskriegen muss.

Ich weiß, was Mathe anbelangt bin ich schwer von Begriff manchmal..
Danke schonmal.

johannes2010 aktiv_icon

23:47 Uhr, 25.04.2010

(0 \ 0 \ 0) = (- 1 \ 0 \ - 3) - t_{1} (5 \ 1 \ 1) + s (0 \ 1 \ 1) + t_{2} (1 \ 0 \ 1)

0 = - 1 - 5 t_{1} + t_{2} \to t_{2} = 1 + 5 t_{1}

II.

0 = 0 - t_{1} + s \to s = t_{1}

III.

0 = - 3 - t_{1} + s + t_{2}

In die Gleichung III. werden jetzt die Ergebnisse aus I und II eingesetzt.

0 = - 3 - t_{1} + s + t_{2} = - 3 - t_{1} + t_{1} + 1 + 5 t_{1} = - 2 + 5 t_{1}

Damit diese Gleichung erfüllt ist, muss

t_{1} = s = \frac{2}{5}

sein. Daraus ergibt sich:

t_{2} = 3

schweegi aktiv_icon

06:51 Uhr, 27.04.2010

Alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe :-)

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