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Ebene F parallel zu Ebene E und geht durch P

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: eben, Gleichungen

natush11 aktiv_icon

19:09 Uhr, 29.06.2012

Aufgabe: Geben Sie eine Gleichung einer Ebene

F

an, die parallel zu Ebene

E

ist und durch

P (2 / 3 / 7)

geht.

EBENE

E : 3 x 1 - 5 x 2 - x 3 = 10

(Koordinatengleichung)

Werner-Salomon aktiv_icon

19:26 Uhr, 29.06.2012

Das ist in diesem Fall sehr einfach.
Setze P in die Ebenengleichung für E ein. Das Ergebnis ist -16 und das ist die Ebene F
Ebene F:

3 x_{1} - 5 x_{2} - x_{3} = - 16

Gruß
Werner

prodomo aktiv_icon

16:49 Uhr, 30.06.2012

Hintergrund ist, dass die Koordinatenform als Normalenform mit dem Normalenvektor

(\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ - 1 \end{matrix})

aufgefasst werden kann. Die parallele Ebene hat dann denselben Normalenvektor, verläuft nur durch einen anderen Punkt. Der Normalenvektor steht zu jedem Vektor auf der Ebene senkrecht, das Skalarprodukt

[\vec{x} - (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ - 1 \end{matrix})

gibt also 0. Ausgerechnet heißt das dann

3 \cdot x_{1} - 5 \cdot x_{2} - x_{3} - (2 \cdot 3 - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7) = 0

.
Also

3 \cdot x_{1} - 5 \cdot x_{2} - x_{3} = 16

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