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Ebene Normalenform Gerade Punkt

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: eben, Gerade, Normalenform, Punkt

kira88 aktiv_icon

18:54 Uhr, 08.10.2012

Hallo zusammen :-)

so, wahrscheinlich ist das ganze einfacher als ich denke, trotzdem brüte ich jetzt schon eine ganze Weile daran.

Eine Ebene ist festgelegt durch die Gerade

g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})

und den Punkt

A (4 | 0 | - 3)

. Bestimme Normalengleichung

So, ich habe hier zwar die Lösung vor mir liegen, dennoch komme ich nicht drauf.

Normalengleichung braucht es den Normalenvektor

\vec{n},

theoretisch noch einen Punkt.

(\vec{x} - \vec{O P}) \cdot \vec{n}

Man könnt sich ja jetzt mal den Stützvektor der Gerade als Punkt

P

wählen
sprich

\vec{O P} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

aber wie komme ich jetzt an

\vec{n}

?

ich versuche mir das gerade bildlich vorzustellen. Ich habe eine Gerade irgendwo im Raum und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt. Eigentlich müsste

\vec{n}

orthogonal sein zum Richtungsvektor der Geraden, nennen wir ihn

\vec{r} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})

als auch senkrecht zu

\vec{A P}

stehen.

\vec{A P} = (\begin{matrix} - 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

Na und wenn ich jetzt die Aufgabenstellung betrachte, die drunter und drüber, sieht man, dass man ohne viel Rechnerei auf die Ergebnisse kommt, man sollt es eigentlich gut "ablesen" können. Aber hier scheint sich Vorstellungskraft und Verstand, Hand in Hand, verabschiedet zu haben :-)
Daher freu ich mich über Gedankenanstöße ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

kira88 aktiv_icon

19:01 Uhr, 08.10.2012

Ups, kann man das verschieben :-)

Edddi aktiv_icon

20:10 Uhr, 08.10.2012

. .

. da sowohl Stützvektor

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

als auch der Punkt

(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

auf der Ebene liegen, ergibt sich ein 2. Richtungsvektor aus diesen beiden Punkten. Dieser ist:

\vec{r_{1}} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix})

Aus Richtungsvektor

\vec{r_{1}}

und dem Richtungsvektor

\vec{r_{2}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})

kannst du nun mittels Kreuzprodukt den Normalenvektor berechnen:

\vec{n} = \vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}} = (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 1 \cdot - 2) - (- 4 \cdot - 2) \\ (- 4 \cdot 2) - (5 \cdot - 2) \\ (5 \cdot - 2) - (- 1 \cdot 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 2 \\ - 8 \end{matrix})

Dies ist dann der Richtungsvektor der Normalen. Diesen nun nur noch mit einem Faktor versehen und natürlich wieder

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

als Stützvektor wählen und fertig.

;-)

kira88 aktiv_icon

20:27 Uhr, 08.10.2012

hey edddi ...schonmal vielen Dank! das mit dem Kreuzprodukt dachte ich mir auch schon irgendwie, allerdings hab ich davon mal noch abgesehen, da wir das offiziell noch nicht hatten...aber wenn es da keinen "einfacheren" Lösungsweg gibt, lass ich es mal so stehen... und eben, vorab herzlichst gedankt!

prodomo aktiv_icon

08:17 Uhr, 09.10.2012

Es gibt auch einen Lösungsweg ohne Kreuzprodukt. Der Grundgedanke ist derselbe.

\vec{n}

muss zu beiden Richtungsvektoren senkrecht sein. Das kann man statt mit dem Kreuzprodukt auch mit 2 Skalarprodukten lösen. Es muss

(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) = 0

und

(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) = 0

gelten. Ausmultipliziert ergibt das

5 \cdot n_{1} - n_{2} - 4 \cdot n_{3} = 0

2 \cdot n_{1} - 2 \cdot n_{2} - 2 \cdot n_{3} = 0

. Zeile I minus

\frac{1}{2}

*Zeile II liefert

4 \cdot n_{1} - 3 \cdot n_{3} = 0

n_{1} = \frac{3}{4} \cdot n_{3}

. Das in Zeile II einsetzen

\frac{3}{2} \cdot n_{3} - 2 \cdot n_{2} - 2 \cdot n_{3} = 0

n_{2} = - \frac{1}{4} \cdot n_{3}

.
Nicht davon irritieren lassen, dass keine zahlenmäßig eindeutige Lösung herauskommt ! Diese würde ja einen Normalenvektor mit bestimmter Länge ergeben, während es doch nur auf die Richtung ankommt (das Kreuzprodukt gibt eine bestimmte - sehr oft zu große - Länge). Daher kann man eine Komponente frei wählen, sinnvoll so, dass Brüche vermieden werden, hier

z . B

n_{3} = 4,

dann ergibt sich

(\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix})

. Zur Sicherheit noch einmal die Probe machen, ob die Skalarprodukte wirklich 0 ergeben.
Man sieht beim Vergleich mit dem Kreuzprodukt, dass dieses

\vec{n}

kürzer ist. Der Aufwand ist ziemlich gleich.

kira88 aktiv_icon

11:16 Uhr, 09.10.2012

PS: Habe eben bemerkt, dass ich mich beim Punkt vertippt habe

A (3 | 0 | - 3),

aber das Prinzip bleibt ja mal das gleiche

Skalarprodukt

\vec{C P} \cdot \vec{n} = 0 \to (\vec{C P}

entspricht jetzt dem Geraden-Richtungsvektor)

\vec{A P} \cdot \vec{n} = 0

weil ja unser Freund

\vec{n}

senkrecht zu

\vec{A P}

bzw.

\vec{C P}

sein soll.

Zunächst dachte ich mir, theoretisch könnte man das nicht machden, denn zu

\vec{A P}

bzw.

\vec{C P}

gäbe es ja theoretisch unendlich viele

\vec{n},

einzelnd gesehen.
Das was man mit der oberen Rechnung aufstellt ist aber ja mehr oder wenig ein Zusammenhang zwischen beiden Vektoren und dem

\vec{n}

(man verrechnet es ja miteinander), daher wäre es ja legitim.
Ich bin jetzt mit dem Additionsverfahren vorgegangen.

(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot \vec{n} = 0

(\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) \cdot \vec{n} = 0

1) 2 n_{1} - 2 n_{2} - 2 n_{3} = O

2) 4 n_{1} - 1 n_{2} - 4 n_{3} = O

Bedingung aufgestellt

n_{1} = 1

1) 2 - 2 n_{2} - 2 n_{3} = O

2) 4 - 1 n_{2} - 4 n_{3} = O | \cdot (- 2)

1) 2 - 2 n_{2} - 2 n_{3} = O

2) - 8 + 2 n_{2} + 8 n_{3} = O |

(Additionsverfahren)

- 6 + 6 n_{3} = 0

6 n_{3} = 6

n_{3} = 1

1)

eingesetzt

2 - 2 n_{2} - 2 = 0

n_{2} = 0

\vec{n}

wäre dann beispielsweise

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Normalenform

[\vec{x} - (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

Verständnisfrage zum Schluss: Ich habe in der Normalenform jetzt für

P (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

gewählt. Theoretisch hätte ich jetzt jeden anderen Punkt, auch

A (3 | 0 | - 3)

nehmen können oder? Denn es würde sich ja nach wie vor alles in einer Ebene befinden?
Wäre das also gleich?

[\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = [\vec{x} - (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

funke_61 aktiv_icon

13:53 Uhr, 09.10.2012

Wenn Du diese beiden Gleichungen (skalar) ausmultiplizierst, sollte sich bei beiden die Normalengleichung

x_{1} + x_{3} = 0

ergeben.
Mach doch mal die Probe und multiplizier

[(\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

aus.
;-)

kira88 aktiv_icon

10:40 Uhr, 10.10.2012

stimmt :-) Dankö :-)

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