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Ebene durch Gerade und Punkt aufstellen
Schüler
Tags: eben, Gerade, Parametergleichung, Punkt, Vektor
 
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hallo leute, die frage lautet: welche bedingung müssen ein punkt und die gerade erfüllen, damit sie eindeutig eine ebene festlegen? geben sie die koordinaten eines punktes und die parametergleichung einer geraden an, die eindeutig eine ebene festlegen. bestimmen sie eine parametergleichung dieser ebene . ich habe für die lösung, denn im lösungsbuch steht: Der punkt darf nicht auf der geraden liegen. begründung: drei punkte, die nicht auf der geraden liegen, legen eine ebene fest. ABER das ergibt doch keinen sinn! denn eigentlich liegen doch zwei punkte der ebenengleichung auf einer geraden und nur ein punkt nicht wenn man sich das zeichnerisch vorstellt, deshalb verstehe ich nicht, wieso alle drei punkte nicht auf der ebene liegen dürfen? bei weiß ich gar nicht weiter. ich bitte um eure hiilfe! ddanke im voraus LG emilie |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Parallelverschiebung Ebene Geometrie - Einführung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) |
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Nimm mal drei verschiedene Punkte und darf nicht auf der Geraden von AB liegen. Denn dann liegen alle drei Punkte auf einer Geraden. ist der Parameter. und sind die Parameter. Dies Buchstaben haben die alten Griechen verwendet, als sie noch jung waren. Man kann auch . und nehmen, oder was anderes. Statt kann man auch oder deren Vielfaches nehmen. Das wären alles richtige Parameterdarstellungen. :-) |
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siehst du? du sagst ja auch, dass nur ein punkt nicht auf der geraden liegen darf, sonst alle anderen schon. aber in der lösung steht ja dass alle drei punkte der ebenengleichung nicht auf der geraden liegen dürfen aber zwei liegen ja sowieso drauf !? zu b)das habe ich irgendwie immer noch nicht verstanden, soll man da einfachirgendwelche punkte auswählen und daraus eine ebenengleichung erstelen? danke schonmal |
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Hi emiliiie "...aber zwei liegen ja sowieso drauf !?" Ja sicher, sie bilden ja die gerade. Aber der eine Punkt aus der Angabe, der liegt NICHT sowieso drauf. Wir müssen das erst untersuchen. Wenn er drauf liegt, spannen dieser Punkt mit der Geraden keine eindeutige Ebene auf. Wenn nicht, dann gibt es eine Ebene. Oder anders ausgedrückt: Wenn man eine eindeutige Ebene festlegen will, darf dieser eine Punkt nicht drauf liegen. Ja, irgend eine Parametergleichung für die Gerade. Suche Dir zwei unterschiedliche Punkte A und aus. Und dann setze für die Bestimmung der Koordinaten von für die und z-Werte unterschiedliche ein. Dann ist sicher nicht auf der Geraden. :-) |
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Hallo Emilie, zu Stell dir als Punkte die beiden Scharniere einer Tür vor. Diese kann man in Gedanken - durch eine Gerade verbinden. Die Tür stellen wir uns als Ebene vor (die natürlich über die Ränder der Tür hinausgeht). Diese enthält alle Punkte unserer Geraden. Hat die Tür ein drittes Scharnier . Punkt auf der Geraden), kann man ihre Lage durch Drehen der Tür immer noch verändern, wobei die Türebene weiterhin die drei Punkte enthält. Die drei Punkte der Ebene (Scharniere) legen also die Lage der Ebene nicht eindeutig fest. Legen wir aber irgendwo im freien Drehbereich der Tür (also außerhalb der "Scharniergerade") als dritten Punkt ein Stück Zucker auf den Boden, müssen wir die Tür genau bis dorthin drehen, wenn dieser dritte Punkt auch in der Türebene liegen soll. Diese drei Punkte (zwei Scharniere Zuckerstück), die NICHT auf einer Geraden liegen, legen also die Lage der Türebene im Raum EINDEUTIG fest. zu Nehmen wir die Punkte und in der Ebene. (Kannst du einfach zeichnen). liegt nicht auf der Geraden AB, und die Gerade legen also eindeutig eine Ebene fest. Die Gerade AB hat dann die Parametergleichung Da die gesuchte Ebene die Gerade enthalten soll, benötigt man für deren Parametergleichung nur noch einen zweiten Richtungsvektor Vektor AC und erhält die Parametergleichung Wir hätten in diesem Fall für die Geradengleichung auch einfach die z-Achse und für die Ebene die x_1-x_2-Ebene nehmen können (diese stimmen mit der berechneten Gerade bzw. Ebene überein) aber dann hättest du nicht so gut erkennen können, wie man das im allgemeinen Fall ausrechnet VlG Wolfgang |
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Im vor letzten letzten Satz muss es natürlich x_2-x_3-Ebene heißen. (Ist aber für unsere Betrachtung unwesentlich) |
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@Stephan: Danke dir.. @Wolfgang: Ich habe mir deine Antwort für mal bildlich vorgestellt und dann auch so aufgeschrieben. Deshalb mache ich eben fotos von dem was ich aufgeschrieben und gezeichnet habe. Ich verstehe deine erläuterung zum teil, ich habe auf meinem zettel in rot fragen aufgeschrieben, zu deinen erklärungen. also wäre es sehr nett wenn du die fragen beantworten und nochmal erklären könntest und überprüfen könntest ob meine zeichnungen richtig sind Viielen dank für deine sehr ausführliche Antwort!!! lese ich mir erst jetzt gleich durch und stelle die fragen dann ebenfalls hier rein LGEMILIE:-)    |
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stand in deiner Lösung das Wörtchen "nicht" wohl an einer anderen Stelle? "nicht alle!"  |
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Hallo 1. die tür ist immer nur ein stück der Ebene, egal wie groß das stück ist. 2. auf der Geraden liegen nicht nur 2 oder 3 Punkte, sondern unendlich viele. nimm staat der tür einen Buchdeckel, durch den Einband, wo er fest ist ist eine gerade festgelegt. (darauf beliebig viel Punkte) den Deckel kannst du jetzt noch in viele lagen drehen. aber wenn du irgendwo eine fingerspitze der Drehung in den Weg legst, das ist der Punkt nicht auf der Geraden, kann der Decel nur noch genau da sein. also legt deine Fingespitze den dritten Punkt fest. 2 Punkte liegen immer auf einer geraden. du kannst deine Fingerspitze mit irgendeinem Punkt der Geraden verbinden, dann liegen die 2 Punkte auch auf einer Geraden. Andere Vorstellung: nimm irgend 3 Punkte, ausgestreckte 3finger. jetzt kannst du darauf ein Buch legen, das alle 3 Fingerspitzen berührt, das ist das Stück der Ebene, und das Buch liegt stabil. dabei kannst du natürlich je 2 Fingerspitzen mit einem faden verbunden denken,die 3 Geraden liegen dann auch in der ebene und natürlich auch alle anderen Punkte auf den geraden. Nur wenn alle 3 Fingerspitzen auf EINER Geraden liegen, kann das Buch kippen, die ebene ist nicht bestimmt. dein Satz im ersten post " drei punkte, die nicht auf der geraden liegen, legen eine ebene fest. " hast du falsch verstanden, genauer muss es heissen drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene fest. (je 2 davon liegen IMMER auf einer Geraden. die Aufgabe kannst du vereinfachen, nimm die achte als Gerade und einen Punkt in der Ebene mit dann ist die Ebene also die Ebene, die sich ergibt! Gruss ledum |
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@femat: ja, da hast du recht, ich habe mich wohl vertippt. @ledum:-D)ankesehr zuerst für deine erklärung!! zu jetzt habe ich das besser verstanden, wobei ich das beispiel mit den fingern nicht so verstanden habe, aber das ist auch egal jetzt weil ich die aufgabe im großen und ganzen verstanden habe.. zu irgendwie verstehe ich das nicht, das ist mir zu kurz weil ich so allgemeine erklärungen nicht verstehe.. ist das denn nicht dasselbe wie wolfgang als beispiel aufgeführt hat oder worin unterscheidet sich das was du meinst? @wolfgang: zu das habe ich jetzt größtenteils verstanden, nur könntest du oder irgendjemand mir erklären was an der zeichnung mit dem "zuckerwürfel" falsch ist? also kann der dritte punkt auch IN der ebene liegen und nicht sozusagen am rand der ebene? hauptsache ist ja nicht auf der geraden.. zu DAnke das habe ich alles verstanden, nur dass was du hinterher in klammern gesagt hast also wie man das hätte auch machen könnte am ende, habe ich nicht verstanden. was meintest duˋ? LGEMILIE |
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Hallo ich hatte wolfgangs antwort nicht genau gelesen. auch er nimmt eine besonders einfache Gerade, also ist das praktisch dasselbe. Eien ebene ist endlos, eine Tür oder ein Papier ist davon nur ein Teil. wo auf dem papier ein Punkt ist am Rand oder nicht, er ist immer in der ebene, wenn du dir also ein Papier oder Tür zur Vorstellung einer Ebene denkst musst du immer das Papier nur als kleinen Ausschnitt betrachten , der aber die Lage der Ebene im Raum festlegt . Gruß ledum |
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