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Ebenegleichungen umformen

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Vektorräume

Tags: Brüche, Ebenegleichung, umformung

Bjoern14 aktiv_icon

15:29 Uhr, 30.11.2019

Hallo Zusammen,

formen Sie die Ebenengleichung so um, dass die Richtungsvektoren nur ganze Zahlen mit möglichst kleinem Betrag enthalten.

a)

E (x^{\to}) = (\begin{matrix} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 4 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} - \frac{1}{5} \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) + l (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

b)

E (x^{\to}) = (\begin{matrix} 14 \\ 7 \\ 21 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 12 \end{matrix}) + l (\begin{matrix} 9 \\ - 15 \\ 6 \end{matrix})

a)

Wie bekomme ich die Brüche weg, das wäre ja glaube ich mein Ziel.
Online finde ich nichts dazu.

r (\begin{matrix} - \frac{1}{5} \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) + l (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

das sind ja meine Richtungsvektoren oder?
Bin irgendwie bei der Aufgabe überfordert.

zu

b)

(\begin{matrix} 14 \\ 7 \\ 21 \end{matrix})

das wäre durch 7 teilbar,

r (\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 12 \end{matrix})

das durch zwei,

l ((9), (- 15), (6)

das durch drei.
Ob mir das weiter hilft weiß ich nicht, abgesehen davon sind ja hier nicht mal Brüche...

Wie ihr merkt, ich stehe auf dem Schlauch und bitte um Hilfe.

Gruß
Björn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
Subtraktion von Brüchen

Roman-22

15:47 Uhr, 30.11.2019

>

a)

Wie bekomme ich die Brüche weg,
Multipliziere die Ebenenvektoren einfach entsprechend.
Der Betrag der verwendeten Vektoren ist im Hinblick auf die Ebenengleichung unerheblich, daher kannst du gern zB anstelle von

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

auch den Vektor

(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

verwenden.

Was sich ändert sind die reellen Faktoren der Richtungsvektoren. Du solltest also, wenn du die Richtungsvektoren änderst nicht mehr die gleichen Bezeichner

r

und

l,

sondern andere verwenden.

rundblick aktiv_icon

17:45 Uhr, 30.11.2019

.
"zu

b) . .

\to (\begin{matrix} 14 \\ 7 \\ 21 \end{matrix})

das wäre durch 7 teilbar.."

nur:

\to (\begin{matrix} 14 \\ 7 \\ 21 \end{matrix})

ist KEIN Richtungsvektor ..

und:
"abgesehen davon sind ja hier nicht mal Brüche..."

\to

sei doch zufrieden, dass du hier nur die zweite Bedingung noch erfüllen sollst :

\to

" .. nur ganze Zahlen mit möglichst kleinem Betrag .."

bestimmt schaffst du das,
wenn du nicht mehr darauf bestehst, auf einem Schlauch herumstehen zu wollen.

ok?

SmoothCriminal aktiv_icon

18:18 Uhr, 30.11.2019

Warum so grantige Antworten? Es ist doch klar ersichtlich, dass er momentan lernen soll, welche Vektoren man kürzen und erweitern darf (und welche nicht). Außerdem hat er selbst geschrieben "ich glaube, das sind die Richtungsvektoren, oder" und "bin irgendwie überfordert".

Jedenfalls:

Ebene in Parameterform sieht so aus:

E : \vec{x} = \vec{S V} + r \cdot {\vec{R V}}_{1} + s \cdot {\vec{R V}}_{2}

wobei SV der Stützvekor und die beiden RVs die Richtungsvektoren sind.
Da die Ebene sozusagen beim Stützvektor startet, darfst Du diesen nicht verändern - sonst "startet" die Ebene ja woanders.

Die Richtungsvektoren geben lediglich die Richtung der Ebene an - wenn Du hier Vektoren vervielfachst (oder kürzst), gehen sie ja immer noch in die gleiche Richtung; Du veränderst die Lage der Ebene also nicht - das ist also erlaubt! (Vektoren, die Vielfache sind, sind parallel!).

Hat man also die Ebene

E : \vec{x} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} \\ 20 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 20 \\ 30 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} \\ \frac{1}{12} \end{matrix})

so kann man vorne am SV nichts machen, aber die Richtungsvektoren darfst Du Vervielfachen - etwa den ersten mit

\frac{1}{10}

und den zweiten mit

24

. Man erhält

E : \vec{x} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} \\ 20 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

Dass die Ebenen identisch sind, siehst Du, da man die gleichen Punkte erhält. Setze doch mal für

r

und

s

jeweils 1 ein, bzw unten für

t

und

u

die Werte

10

und

\frac{1}{24}

. Da der Stützvektor sozusagen konstant ist, kannst Du hier nichts kürzen ohne die Lage der Ebene zu verändern.

Bjoern14 aktiv_icon

20:19 Uhr, 30.11.2019

Danke an alle.
Habe es endlich verstanden:-)

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