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Ebenengleichung aus zwei Geraden aufstellen
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Ebenengleichung, Koordinatenform, Koordinatengleichung, Vektor
 
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Hallo, ich habe folgende Schwierigkeit: gegeben sind zwei Geraden in Paramenterform und ich soll daraus nun eine Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen. Nun steht in den Lösungen, dass man zuerst den Schnittpunkt der beiden Geraden ausrechnet, jedoch wollte ich wissen, weshalb dieser Schritt notwendig ist. Ich kann mir das räumlich nicht so gut vorstellen. Ich weiß ja, dass man aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren den Normalenvektor der Ebene bekommt. Daraus folgt dann diese Gleichung: Um nun ausrechnen zu können würde man bei zwei Geraden, welche den gleichen Stützvektor haben, den Stützvektor einfach in die Gleichung einsetzen (wenn ich das richtig verstanden habe). Da hier jedoch zwei verschiedene Stützvektoren vorhanden sind, geht das anscheinend nicht. Weshalb ist das so? Vielen Dank im Vorraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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" Nun steht in den Lösungen, dass man zuerst den Schnittpunkt der beiden Geraden ausrechnet, jedoch wollte ich wissen, weshalb dieser Schritt notwendig ist. Ich kann mir das räumlich nicht so gut vorstellen. " Die Geraden fallen zusammen Die Geraden sind "echt" parallel. Die Geraden schneiden einander in einem Punkt. Die Geraden sind windschief. Wann läßt sich durch zwei Geraden eine Ebene definieren ? |
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Wenn die Geraden entweder echt parallel sind oder sich in einem Punkt schneiden... Danke, das hat mich wieder auf den richtigen Weg gelenkt :-D) |
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Und bei deinem " " in der Ebenegleichung greife auf "gesichertes Wissen" zurück. Dabei ist der Ortsvektor eines festen Punktes der Ebene und der Normalvektor |
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Super, vielen Dank für die Antwort! |
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Zwecks Vergleich - verrate uns noch dein Ergebnis ! |
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Da hier jedoch zwei verschiedene Stützvektoren vorhanden sind, geht das anscheinend nicht. Doch, geht genau so. Du kannst dir sogar einen der beiden aussuchen. Der unterschied ist nur, dass du bei seiner Angabe nicht sicher wissen kannst, ob die beiden geraden eine Ebenen aufspannen oder vielleicht windschief sind. Dass sie nicht ident oder parallel sind, erkennt man sofort daran, dass die Richtungsvektoren nicht kollinear sind. Ich würde aber gar nicht erst den Schnittpunkt berechnen, sondern sofort mithilfe eines der beiden Stützvektoren die Ebenengleichung so wie von dir skizziert aufstellen. Danach musst du nur mehr durch einsetzen prüfen, ob der andere Stützpunkt auch in dieser Ebene liegt, ob seine Koordinaten also die Ebenengleichung erfüllen. Diese Vorgangsweise scheint mir einfacher zu sein, als erst zu versuchen, den Schnittpunkt zu berechnen. |
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Ich habe jetzt als Schnittpunkt: Durch einsetzten des Punktes in also bekomme ich heraus. Somit ist die Ebenengleichung: |
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accord |
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Ach so, ich wollte das zuerst nämlich so machen, aber in diesem Hilfeheft steht nicht drinne, ob das so möglich ist. Da ist nur der Weg mit dem Schnittpunkt beschrieben. Daher die Frage. Vielen Dank, dann wäre das hiermit geklärt! |
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