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Ebenenschar mit einer Unbekannten

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ebenenschar

Ina92 aktiv_icon

17:24 Uhr, 27.09.2011

Also, ich habe die letzten beiden Mathestunden leider wegen Einstellungstests verpasst und konnte auch bisher niemanden fragen, ob er mir die Hausaufgaben erklärt. Trotzdem möchte ich sie gerne machen. Hier die Aufgaben: Die Punkte sind ein wenig komisch geschrieben. Wusste nicht wie ichs anders machen sollte. Stehen jetzt alle nebeneinander, normal bei Vektoren ja untereinander.

Ebenenschar : E:3ax1+2ax2-5x3=10a

a)

Für welchen Wert von a liegt der Punkt

P (113)

in der Ebene E?

Da habe ich für

a = - 3

raus. Kann das sein?

b)

Für welchen Wert von a ist die Ebene

E

parallel zur Gerade

g : x = (855) + t \cdot (012)

?

Da habe ich dann irgendwie versucht wieder etwas für

x 1 x 2 x 3

einzusetzen also so:

x 1 = 8, x 2 = 5 + t

und

x 3 = 5 + 2 t

und das dann halt in die Ebenenschar einsetzen. Aber da kam nichts bei rum, deswegen denke ich mal, der Ansatz stimmt nicht so ganz.

c)

Für welchen Wert von a ist die Gerade

g : x = (110) + t \cdot (321)

orthogonal zur Ebene E?

Eine wirkliche Idee habe ich hier nicht. Etwas ist ja orthogonal zueinander, wenn beim Gleichsetzen oder so 0 rauskommt. Bin mir da auch nicht mehr 100pro sicher.

d)

Für welchen Wert von a geht die Ebene

E

durch den Ursprung? Um welche besondere Ebene handelt es sich in diesem Fall?

Echt keine Ahnung

) :

e)

Zeigen sie, dass jede Ebene der Schar, die Gerade durch die Punkte

R (220)

und

S (4 - 10)

enthält.

Also, ich möchte nicht, dass ihr meine Hausaufgaben macht, aber ich komme wirklich nicht weiter. Es reicht ja vollkommen aus, wenn mir jemand einen Ansatz geben würde, damit ich wenigstens eine Idee habe, wie ich das lösen könnte.

Vielen Dank schonmal

〈

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michael777 aktiv_icon

18:29 Uhr, 27.09.2011

a) a = - 3

ist richtig

bitte die Koordinaten mit dem | Tastatur:

[

Alt Gr][<]trennen

b)

die Ebene ist parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebenen senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden ist

also

(\begin{matrix} 3 a \\ 2 a \\ - 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0

2 a - 10 = 0

a = 5

c)

die Gerade ist senkrecht zur Ebenen, wenn der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebenen ist (Gerade also parallel zum Normalenvektor):

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 3 a \\ 2 a \\ - 5 \end{matrix})

aus der dritten Zeile:

t = - \frac{1}{5}

t = - \frac{1}{5}

eingesetzt:

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (- \frac{1}{5}) \cdot (\begin{matrix} 3 a \\ 2 a \\ - 5 \end{matrix})

erste Zeile:

3 = - \frac{3}{5} \cdot a \Rightarrow a = - 5

zweite Zeile:

2 = - \frac{2}{5} \cdot a \Rightarrow a = - 5

also

a = - 5

d)

Ebene durch Ursprung

(0 | 0 | 0)

einsetzen:

x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 0

und nach a auflösen

a = 0

Ebene durch Ursprung:

- 5 x_{3} = 0

bzw. vereinfacht:

x_{3} = 0

x_{1} x_{2}

Ebene (alle Punkte dieser Ebenen haben die x_3-Koordinate 0

e)

Punkt einsetzen

z . B

R (2 | 2 | 0)

3 a \cdot 2 + 2 a \cdot 2 - 5 \cdot 0 = 10 a

zusammenfassen:

10 a = 10 a

wahre Aussage für alle

a, d . h

. der Punkt

R

liegt auf allen Ebenen

das gleiche mit dem anderen Punkt

Ina92 aktiv_icon

18:51 Uhr, 27.09.2011

Vielen vielen Dank!
Jetzt, wo man das so sieht, ergibt das auch alles einen Sinn! Aber mit den Ansätzen ist das so ein Problem..

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