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Eckpunkte eines Dreiecks berechnen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: dreieeck, Eckpunkt, Gerade, Gleichschenkliges Dreieck, Vektor, Vektorraum

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00:24 Uhr, 01.03.2015

halllo ,
Komme bei einer Aufgabe Nicht mehr weiter und zwar soll ih die eckkoordinaten eines gleichschenkligen Dreiecks bestimmen
- die Seiten a und

b

sind gleich lang
- die dem Punkt

c (\frac{6}{7})

gegenüberliegende Seite

c

liegt auf der geraden

g : y = \frac{1}{2} x - 1

- die Seite

c

ist dreimal so lang wie der Abstand zwischen dem Punkt

c

und der Geraden

g

Nun solle ich die Eckpunkte a und

b

berechnen

Ich habe mir gedacht mit Hilfe des lotfuss Verfahrens den Abstand des Punktes mit der Geraden zu bestimmen und weiter weiß ich halt nicht
Bitte um eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

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Respon

03:07 Uhr, 01.03.2015

Möglicher Rechenweg:
Den Normalabstand des Punktes

C

von der Geraden ( entspricht der Höhe

h

des Dreiecks ) mit der Hesseschen Normalform bestimmen.

y = \frac{x}{2} - 1 \Rightarrow \frac{x - 2 \cdot y - 2}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = 0

Koordinaten des Punktes

C

einsetzen.

h = | \frac{6 - 14 - 2}{\sqrt{5}} | = 2 \cdot \sqrt{5}

Gleichung der Normalen durch

C

bestimmen ( Punkt-Richtungsform )

n : y - 7 = - 2 \cdot (x - 6) \Rightarrow y = - 2 \cdot x + 19

Höhenfußpunkt

H

bestimmen

(g \cap n) \Rightarrow H (8 | 3)

Richtungsvektor der Geraden

\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}),

Einheitsvektor

\vec{v_{e}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

Der Abstand des Punktes A und

B

von

H

beträgt laut Angabe jeweils

1,5 \cdot h

.
Vektorgleichung aufstellen

\vec{B} = \vec{H} + 1,5 \cdot h \cdot \vec{v_{e}} = (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) + 1,5 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 \\ 6 \end{matrix})

\vec{A} = \vec{H} - 1,5 \cdot h \cdot \vec{v_{e}} = (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) - 1,5 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

ODER ( Alternativweg )

h = 2 \cdot \sqrt{5}

Schenkellänge bestimmen:

a^{2} = h^{2} + {(1,5 \cdot h)}^{2} = 65

Kreis mit Mittelpunkt

C

und Radius a

k : {(x - 6)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 65

k \cap g \Rightarrow

Schnittpunkte A und B.

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14:52 Uhr, 02.03.2015

Mlr ist nicht ganz klar wie du auf die Gleichung der normale gekommen bist und den höhenfusspunkt.
Von welchen Punkten berechnet sich der riyhtungsvektor

Bummerang

15:45 Uhr, 02.03.2015

Hallo,

mal eine weniger vektorielle Herangehensweise:

Das "halbe" gleichschenklige Dreieck ergibt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen

h (=

Abstand Punkt

C

von der Geraden),

\frac{3}{2} \cdot h

(wegen der dreifachen Länge der Seite

c,

die hier nur zur Hälfte mit einfließt) und

\sqrt{3,25 \cdot h^{2}}

(wegen dem alten Pythagoras. Das Quadrat des Abstands eines Punktes

(\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \end{matrix})

der Geraden, also

(\begin{matrix} x_{0} \\ \frac{1}{2} \cdot x_{0} - 1 \end{matrix})

vom Punkt

C

beträgt:

{| (\begin{matrix} x_{0} \\ \frac{1}{2} \cdot x_{0} - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix}) |}^{2} = {(x_{0} - 6)}^{2} + {(\frac{1}{2} \cdot x_{0} - 1 - 7)}^{2} = {(x_{0} - 6)}^{2} + {(\frac{1}{2} \cdot x_{0} - 8)}^{2} = x_{0}^{2} - 12 \cdot x_{0} + 36 + \frac{1}{4} \cdot x_{0}^{2} - 8 \cdot x_{0} + 64

= \frac{5}{4} \cdot x_{0}^{2} - 20 \cdot x_{0}^{2} + 100 = \frac{5}{4} \cdot (x_{0}^{2} - 16 \cdot x_{0}^{2} + 64) + 20 = \frac{5}{4} \cdot {(x_{0} - 8)}^{2} + 20

Damit ist der minimale Abstand

h = \sqrt{20}

und die dritte Seite ist

\sqrt{3,25 \cdot 20} = \sqrt{65}

lang. Jetzt suchen wir die beiden Punkte der Geraden, deren Abstand zu

C

genau

\sqrt{65}

beträgt, bzw. bei denen das Quadrat des Abstandes (das wir oben allgemein ermittelt haben) gleich

65

ist:

{| (\begin{matrix} x_{0} \\ \frac{1}{2} \cdot x_{0} - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix}) |}^{2} = 65

\frac{5}{4} \cdot {(x_{0} - 8)}^{2} + 20 = 65

\frac{5}{4} \cdot {(x_{0} - 8)}^{2} = 45

{(x_{0} - 8)}^{2} = 36

x_{0,1} - 8 = - 6 \Rightarrow x_{0} = 2

x_{0,2} - 8 = 6 \Rightarrow x_{0} = 14

Für diese beiden

x

ermittelt man mit der Geradengleichung die zugehörigen y-Werte:

y_{0,1} = \frac{1}{2} \cdot x_{0,1} - 1 = \frac{1}{2} \cdot 2 - 1 = 0

y_{0,2} = \frac{1}{2} \cdot x_{0,2} - 1 = \frac{1}{2} \cdot 14 - 1 = 6

Die beiden gesuchten Punkte sind somit

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 14 \\ 6 \end{matrix})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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