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Eigenfunktion zu gegebenem Eigenwertproblem

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenfunktionen, Eigenwert, Eigenwertproblem

johnny1209 aktiv_icon

16:39 Uhr, 12.03.2012

Gegeben sei das Eigenweertproblem -y"(x)=lambda²*y(x), y'(0)=0, y(1)=0.
Geben Sie einen Eigenwert und die zugehörige Eigenfunktion an!

Hallo!

Ich dachte Eigenwertprobleme hätten etwas mit Matritzen zu tun- ich kann hier in diesem Fall leider keinen Ansatz finden.. bin ich denn mit Matritzen in diesem Fall überhaupt auf dem richtigen Weg?
Ich brauche denke ich einen kleinen Startschuss...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

17:48 Uhr, 12.03.2012

die homogene dgl

- y'' = a^{2} y

kann man ja mit dem Ansatz

e^{λ x}

und dem charakteristischen polynom loesen... (ich hab den koeffizienten in der dgl umbenannt in

a,

damit man das nicht mit dem

λ

des Ansatzes

e^{λ x}

verwechselt)

das charakteristische polynom hat implizit was mit eigenwerten zu tun... hierfuer musst die dgl einfach in ein dgl system erster ordnung

(\begin{matrix} 0 & - a^{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y' \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} y' \\ y \end{matrix})'

umformen. dann kann man mit dem Ansatz

e^{λ x}

(\begin{matrix} 0 & - a^{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} λ e^{λ x} \\ e^{λ x} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ^{2} e^{λ x} \\ λ e^{λ x} \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & - a^{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} λ e^{λ x} \\ e^{λ x} \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} λ e^{λ x} \\ e^{λ x} \end{matrix})

das ganze auf das Eigenwertproblem

A \cdot \vec{v} = λ \cdot \vec{v}

zurueckführen...

johnny1209 aktiv_icon

20:28 Uhr, 12.03.2012

vielen dank für die schnelle hilfe!

also den ansatz y=e^(lambda*x) verstehe ich- aber ehrlich gesagt noch nicht genau, wie du dann auf das dgl-system 1.ordnung kommst. könntest du mir nochmal zeigen aus welchem wert welcher im dgl-system entsteht (bereite mich auf eine mathe-klausur vor und möchte es gern wirklich begreifen, damit ich es in der klausur auch anwenden kann...)?

also ich weiß nicht genau ob stimmt was ich jetzt gemacht habe, aber ich habe die gleichung umgestellt zu:

a^2*y+y"=0
wenn man das mit oben erwähntem ansatz umformt erhält man eine quadr. gleichung deren beiden lösungen meiner ansicht nach +/-a sind. damit kann ich dann ja eine allgemeine lösung der gleichung erstellen:
y=C1*e^(a*x)+C2*e^(-a*x)

stimmt das soweit?

nun würde ich y(1)=0 einsetzen: C1*e^a+C2*e^-a=0

außerdem würde ich die erste ableitung von y bilden:
y'= C1'*e^(a*x)+a*C1*e^(a*x)+C2'*e^(-a*x)-a*C2*e^(-a*x)

nun könnte ich hierfür einsetzen y'(0)=0 womit ich zu:
0=C1'+a*C1+C2'-a*C2 komme.

auch hier die frage: stimmt das?

und wenn: wie würde ich dann jetzt weitermachen? denn das wird wohl kaum mein ergebnis sein, oder?

CKims aktiv_icon

00:26 Uhr, 13.03.2012

du musst einfach nur bei

(\begin{matrix} 0 & - a^{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y' \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} y' \\ y \end{matrix})'

die linke seite ausrechnen, um zu sehen, dass das nichts anderes ist als deine dgl... also matrix mal vektor ergibt

(\begin{matrix} 0 \cdot y' - a^{2} y \\ 1 \cdot y' + 0 \cdot y \end{matrix}) = (\begin{matrix} y'' \\ y' \end{matrix})

(\begin{matrix} - a^{2} y \\ y' \end{matrix}) = (\begin{matrix} y'' \\ y' \end{matrix})

da steht jetzt oben deine dgl und unten einfach die wahre aussage dass

y' = y'

ist... man hat also damit die dgl in matrix form "gezwaengt" und kann jetzt darauf die mathematischen instrumente, die man aus der matrizenrechnung kennt loslassen... ausgehend also von

(\begin{matrix} 0 & - a^{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} λ e^{λ x} \\ e^{λ x} \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} λ e^{λ x} \\ e^{λ x} \end{matrix})

sind die eigenwerte gerade loesung des systems, welche sich über

det (\begin{matrix} - λ & - a^{2} \\ 1 & - λ \end{matrix}) = 0

berechnen lassen. das ergibt

λ^{2} + a^{2} = 0

was genau dem charakteristischen polynom entspricht... jetzt ist aber

λ^{2} = - a^{2}

λ = \pm \sqrt{- a^{2}}

λ = \pm i a

damit bildet die linearkombination aus

y = c_{1} e^{i a x} + c_{2} e^{- i a x}

den loesungsraum der dgl... mit

e^{i t} = cos (t) + i sin (t)

ergibt das

y = c_{1} (cos (a x) + i sin (a x)) + c_{2} (cos (- a x) + i sin (- a x))

y = c_{1} cos (a x) + c_{1} i sin (a x) + c_{2} cos (a x) - c_{2} i sin (a x)

y = c_{1} cos (a x) + c_{1} i sin (a x) + c_{2} cos (a x) - c_{2} i sin (a x)

y = c_{1} cos (a x) + c_{2} cos (a x) + c_{1} i sin (a x) - c_{2} i sin (a x)

y = (c_{1} + c_{2}) cos (a x) + (c_{1} - c_{2}) i sin (a x)

mit

c_{1} + c_{2} = C_{1}

und

c_{1} - c_{2} = C_{2}

y = C_{1} cos (a x) + C_{2} i sin (a x)

aufgrund der linearitaet ist sowohl realteil als auch imaginaerteil der loesung auch loesung der dgl... also

y = C_{1} cos (a x) + C_{2} sin (a x)

das jetzt ableiten und mit

y (1)

und

y' (0)

die konstanten

C_{1}

und

C_{2}

bestimmen

puhhh

johnny1209 aktiv_icon

14:53 Uhr, 13.03.2012

vielen dank nochmal- hab meinen rechenfehler gefunden, der zur falschen gleichung bei mir geführt hatte. und ich denke, ich hab jetzt auch die matrizen-rechnung verstanden.

ich habe jetzt nochmal alles durchgerechnet und komme auf die ableitung:
y'= C1'*cos(ax)-C1*sin(ax)*a+C2'sin(ax)+C2*sin(ax)*a

und wenn ich das mit den vorgegebenen sachen gleichsetze komme ich auf C1=C2=0

und das würde als gesamtgleichung: y=0 kommen, weil y=C1*cos(ax)+C2*sin(ax) gilt...ist das jetzt richtig durchgerechnet?

CKims aktiv_icon

15:27 Uhr, 13.03.2012

das bekomm ich auch raus...

mich wundert es nur dass sowas triviales rauskommt... vielleicht war die aufgabe auch so gemeint, dass man das ohne rechnung direkt raten sollte...

naja...

lg

johnny1209 aktiv_icon

16:59 Uhr, 13.03.2012

sehr schön, vielen dank nochmal!
hatte nämlich auch schon ein bisschen angst, wenn ich so was schlichte als ergebnis bekomm, aber wenn ich damit nicht alleine bin, reicht mir das und ich freue mich sehr das du dir die zeit für mich genommen hast!

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