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Eigenschaften der Verbindungsgerade zweier Geraden

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Geraden, Geradengleichung, Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

Hida142 aktiv_icon

11:15 Uhr, 11.03.2019

Hallo,

folgende Aufgabe möchte ich berechnen und habe auch schon einige Ansätze und möchte gerne wissen, ob ich es soweit richtig gemacht habe.(Teilweise etwas kurz formuliert)

Seien

g = {a + λ b \in R^{n} : λ \in R}, h = {λ \in R^{n} : λ \in R}

Geraden im

R^{n}

mit

g

schnitt

h

=leere Menge.

Sei

k_{λ}

die Verbindungsgerade die durch die Punkte

a + λ b

und

λ

geht. Sei

U

die Vereinigung dieser Geraden.

1: Stellen Sie

U

in der Form

U = {... : λ, ω} \in R

dar
2: Zeigen Sie a nicht in sp(b,c)
3:Zeigen Sie: Ist b=c,so ist

U

ein Untervektorraum
4:Zeigen Sie: Ist

U

ein Untervektorraum so sind

g

und

h

parallel

1 : U := a + λ b + ω (λ c - a + λ b),

also ich habe einfach nur eine Geradengleichung aufgestellt mit den beiden Punkten.

2 : g

schnitt

h

ist leer

\to g \neq h,

somit gilt NICHT:

a = λ c

und auch nicht

0 = a + λ b

. Also kann a kein Vielfaches von

b

oder

c

sein.

3 : b = c \to U = a + λ b + ω (λ b - a + λ b)

a) U

ist Teilmenge des R^n,offensichtlich
b)U!=leere Menge:

0 + 0 \cdot 0 + 0 (0 \cdot 0 - 0 + 0 \cdot 0) = 0 \in R^{1}

c)Für alle

U_{1}, U_{2} \in U

gilt:U_1+U_2 in

U

a + λ_{1} b + ω_{1} (λ_{1} b - a + λ_{1} b) + a + λ_{2} b + ω_{2} (λ_{2} b - a + λ_{2} b)

ist wieder im

R^{n}

da die Summanden im

R^{n}

d)

Für alle

u \in U

gilt:

δ \cdot u \in U

u \in U

ist auch die Multiplikation in

U

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

ledum aktiv_icon

19:33 Uhr, 11.03.2019

Hallo
mich irritiert der 2 fache Gebrauch von

λ, a)

als reelle Zahl,

b)

als Vektor in

ℝ^{n}

ist das Absicht oder hast du dich vertippt?
Gruß ledum

Hida142 aktiv_icon

09:50 Uhr, 13.03.2019

Ja, du hast recht, es sollte heißen:

h = {λ c}

und nicht

h = {λ}

und überall wo die Gerade vorkommt, muss das

c

als Vektor hin.

λ

ist nur in R.

Kannst du mir sagen ob dann meine Ausarbeitung Sinn macht? :-)

Hida142 aktiv_icon

12:11 Uhr, 15.03.2019

Könnte mir jemand einmal sagen, ob die Lösung so passt?

pwmeyer aktiv_icon

13:54 Uhr, 15.03.2019

Hallo,

ich sehe da noch einige Probleme.

Zunächst: Sollte es in Deiner Formel unter 1. nicht heißen ..

ω \cdot (λ \cdot c - a - λ \cdot b)

?

Unter 2. schreibst Du: "Also kann a kein Vielfaches von

b

oder

c

sein." Da ist aber nicht die Frage unter 2. Gefragt ist, ob (nicht) a Linearkombination aus

b

und

c

ist (Aufspann)...

Gruß pwm

Hida142 aktiv_icon

18:19 Uhr, 15.03.2019

Stimmt, mit der Formel hast du recht, habe eine Klammer vergessen.

Zu

b :

Du hast natürlich recht...

Neuer Versuch:

Zz.: a nicht in sp(b,c)

Fall

1 : b, c

lin. abhängig:

sp(b,c)

\Leftrightarrow

sp(c)

Sei jetzt a im sp(c),dann gibt es ein

λ \in R

sodass:

a = λ

*c,dann wäre aber

g = h

und dass kann nicht sein

Fall

2 : b, c

sind nicht lin abhängig

da

g

schnitt

h =

leere Menge müssen

g

und

h

windschief sein.

Sei jetzt

a

in sp(b,c) so ex.

λ_{1,2}

sodass:

a = λ_{1} \cdot b + λ_{2} \cdot c \Leftrightarrow

a - λ_{1} \cdot b = λ_{2} \cdot c

und dass kann nicht sein, da:

g

schnitt

h

=leere Menge

So richtig?

Hida142 aktiv_icon

18:50 Uhr, 15.03.2019

Und bei 4. komme ich nicht weiter...

Habe ja schon bei 3. gezeigt, wenn

b = c

ist, ist

U

Untervektorraum und eben weil

b = c

ist und

g \neq h

müssen

g

und

h

parallel sein.

jetzt vermute ich mal, dass ich noch zeigen muss, dass wenn

b \neq

c

,so ist

U

kein UVR und damit ist 4. schon gezeigt.

Aber wie mache ich das am besten und ist der Ansatz richtig?

Hida142 aktiv_icon

10:14 Uhr, 17.03.2019

Kann mir jemand helfen?

pwmeyer aktiv_icon

11:52 Uhr, 17.03.2019

Hallo,

bei Deiner Lösung oben braucht man keine Fallunterscheidung machen, der allgemeine Fall enthält auch den Sonderfall.

Zu 4: Parallel bedeutet, dass

b

ein Vielfaches von

c

ist (nicht notwendig gleich).

Ich habe es mal so gemacht: Es ist

a \in U

und

c \in U,

wenn

U

ein Unterraum ist, dann muss auch

a + c \in U

sein. Das habe ich dann mit der allgemeinen Formel für die Elemente aus

U

überprüft.

Gruß pwm

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