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Eigenvektoren für doppelten Eigenwert

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

gogoman

19:28 Uhr, 28.01.2020

Hallo

Ich würde gerne wissen, wie ich die Eigenvektoren berechne für einen doppelten Eigenwert.

A = \frac{1}{7} (\begin{matrix} 27 & 12 & - 24 \\ 12 & 59 & 8 \\ - 24 & 8 & 47 \end{matrix})

Ein Rechner hat mir folgende Eigenwerte und Eigenvektoren ausgespuckt.

Eigenwerte

: 1, 9, 9

Eigenvektoren:

für

1 : (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Für

9 : (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

In der Musterlösung sind andere angegeben für die Eigenwerte 9.

\frac{1}{\sqrt{10}} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}); \frac{1}{\sqrt{35}} (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

Wie kommt man auf diesen Eigenvektor? Das sie nomiert sind ist mir klar
Danke im vorau.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

19:45 Uhr, 28.01.2020

Hallo,

die Gleichung für den Eigenvektor zum Eigenwert 9 ist

[\frac{1}{7} \cdot (\begin{matrix} 27 & 12 & - 24 \\ 12 & 59 & 8 \\ - 24 & 8 & 47 \end{matrix}) - \frac{1}{7} \cdot (\begin{matrix} 63 & 0 & 0 \\ 0 & 63 & 0 \\ 0 & 0 & 63 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = 0

Du wirst sehen, dass die Gleichugen linear abhängig sind und die Lösung

3 x_{1} + 2 x_{3} = x_{2}

ist. Es gibt also verschiedene Eigenvektoren zum Eigenwert

9

.

Gruß

pivot

HAL9000

21:39 Uhr, 28.01.2020

Die Musterlösung war offenbar bemüht, normierte orthogonale Eigenvektoren zum Eigenwert 9 anzugeben.

Hätte man aus den von gogoman angegebenen beiden Vektoren auch ableiten können, z.B. durch Gram-Schmidt.

EDIT: Achso, die Ausgangsmatrix war ja sogar symmetrisch. Dann war das Ziel womöglich insgesamt eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren. Für Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte ist die Orthogonalität bei symmetrischen Matrizen automatisch erfüllt; für die des gleichen Eigenwertes muss es erst erzwungen werden (wie eben etwa per Gram-Schmidt).

gogoman

16:46 Uhr, 29.01.2020

Vielen Dank
Ich werde mir das Verfahren mal näher anschauen.

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