Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Eigenvektoren, lineare Abbildung

Eigenvektoren, lineare Abbildung

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor

Fabienne- aktiv_icon

22:30 Uhr, 17.05.2014

Guten Abend, ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei

V

ein K-Vektorraum und

f : V \to V

eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: Wenn jeder Vektor

v \in V

v \neq 0

ein Eigenvektor von

f

ist, dann existiert

λ \in K

so, dass gilt:

f = i d_{v} \cdot λ

Meine Frage ist:
Was soll ich machen?

Das ist doch einfach die Definition von Eigenvektoren.

Ein Vektor

v \in V

heißt Eigenvektor von

φ \in E n d (V)

zum Eigenwert

λ

, wenn gilt:

I)

v \neq 0

II)

φ (v) = v \cdot λ

Und weil

v

nach Voraussetzung bereits ein Eigenvektor ist, gilt die Eigenschaft

f = i d_{V} \cdot

\lambda doch automatisch?

Könnte mich jemand aufklären was ich hier missverstehe? <3
Viiiiiiielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:37 Uhr, 17.05.2014

Im allgemeinen Fall hast Du zuerst mal nur einen Eigenvektor, der dem Eigenwert entspricht. Das heißt, dass

f (v) = λ v

für diesen Vektor. Aber nicht unbedingt für alle Vektoren. Deshalb muss auch nicht

f (v) = λ i d_{V}

gelten, denn dies würde bedeuten, dass alle Vektoren Eigenvektoren zum Wert

λ

ist.

Einfaches Beispiel: die durch Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array})

definierte Abbildung hat die Eigenwerte

1

und

2

und ist

\neq i d_{V}

Fabienne- aktiv_icon

22:46 Uhr, 17.05.2014

Hmm, so ganz verstehe ich die Aufgabe leider immer noch nicht. :(

DrBoogie aktiv_icon

23:22 Uhr, 17.05.2014

Du musst im Prinzip Folgendes zeigen: wenn

f

zwei verschiedene Eigenwerte hat, dann sind nicht alle Vektoren Eigenvektoren.

Update. Zuvor Quatsch geschrieben.

Fabienne- aktiv_icon

12:15 Uhr, 18.05.2014

Also, dann sei

v \in V

Eigenvektor.

Ich will zeigen, dass für

w \in V - {0}

beliebig

f (w) = w \cdot λ

gilt.

Fabienne- aktiv_icon

14:36 Uhr, 18.05.2014

Ich weiß leider nicht weiter. :'(

DrBoogie aktiv_icon

17:16 Uhr, 18.05.2014

Aussage 1.
Wenn

f

zwei verschiedene Eigenwerte hat, dann sind nicht alle Vektoren Eigenvektoren.
Beweis: Seien

λ_{1} \neq λ_{2}

zwei Eigenwerte und seien

v_{1}

und

v_{2}

die entsprechenden Eigenvektoren, also

f v_{1} = λ_{1} v_{1}

f v_{2} = λ_{2} v_{2}

.
Dann ist

v_{1} + v_{2}

kein Eigenvektor, denn

f (v_{1} + v_{2}) = λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2}

und wäre jetzt

f (v_{1} + v_{2}) = μ (v_{1} + v_{2})

, müsste

μ (v_{1} + v_{2}) = μ v_{1} + μ v_{2} = λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2}

sein, woraus

(λ_{1} - μ_{1}) v_{1} + (λ_{2} - μ_{2}) v_{2} = 0

folgen würde, also wären

v_{1}, v_{2}

linear abhängig, was nicht möglich ist, weil Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten immer linear unabhängig sind.

Aussage 2.

f = λ I d_{V}

, wo

λ

- ein Eigenwert zu irgendeinem Eigenvektor

v_{0}

ist.
Beweis. Sei

w \neq v_{0}

ein Vektor. Er ist ein Eigenvektor wie auch jeder andere Vektor aus

V

nach Annahme des Satzes. Nach Aussage 1. kann sein Eigenwert nicht von

λ

verschieden sein, also muss

f w = λ w

gelten. Da

w

beliebig

\neq v_{0}

war, und da für

v_{0}

ebenfalls gilt

f v_{0} = λ v_{0}

, gilt

f = λ I d_{V}

Fabienne- aktiv_icon

17:19 Uhr, 18.05.2014

Vielen Dank für die ausführliche Hilfe. Ein kleiner Schupps in die richtige Richtung hätte aber (vielleicht) erstmal ausgereicht.

Hätte dir Tipparbeit gespart.

Viiiiiiielen Liiiiiiieben Dank. <3 <3 <3

1166519

1166308

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?