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Eigenwert und Eigenfunktion eines Operators

Universität / Fachhochschule

Tags: chemie, eigenfunction, Eigenfunktion, Eigenvalue, Eigenwert, hamiltonian operator, Operator, quantenmechanik

00Student00 aktiv_icon

16:54 Uhr, 22.04.2017

Hallo

und zwar geht es mir jetzt um die Bestimmung von Eigenwerten und Eigenfunktionen eines gegeben Operators.

Die Aufgabe lautet:

"Bestimmen Sie die Eigenwerte

λ

und die Eigenfunktion

Ψ (x)

des Operators Ô

= \frac{d}{d x}

mit den Randbedingungen:

Ψ (0) = 1

und

Ψ (2 π) = 1

Wie geht man ein sogenanntes Eigenwertproblem an?

Die Eigenwertgleichung lautet: Ôf(x)=

λ f (x)

mit Ô als Operator, welcher auf die Funktion

f (x)

wirkt und

λ

als Eigenwert der Eigenfunktion

f (x)

Wie finde ich nun heraus, welche Eigenwerte und welche Eigenfunktionen der Operator Ô

= \frac{d}{d x}

besitzt?

Ich hoffe ihr könnt mir dabei behilflich sein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

18:23 Uhr, 22.04.2017

Die Eigenwertgleichung hast du im Grunde bereits richtig hingeschrieben, wobei die gesuchte Eigenfunktion in der Angabe

Ψ

genannt wird, weshalb ich diese hier auch gleich

Ψ

nenne:

Ô Ψ (x) = λ \cdot Ψ (x)

Nun kann man wegen

Ô = \frac{d}{d x}

, diese auch als

\frac{d}{d x} Ψ (x) = λ \cdot Ψ (x)

schreiben. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung. Trennung der Variablen liefert

Ψ (x) = Ψ (0) \cdot e^{λ x}

.

Mit der Bedingung

Ψ (0) = 1

erhält man den Faktor

Ψ (0)

.
Mit der Bedingung

Ψ (2 π) = 1

erhält man dann eine Bedingung für die Eigenwerte

λ

00Student00 aktiv_icon

18:43 Uhr, 22.04.2017

Vielen Dank für deine Antwort

Nach der Formel:

Ψ (x) = Ψ (0) \cdot e^{λ x}

wäre ja der Faktor

Ψ (0)

aufgrund der Anfangsbedingung:

Ψ (0) = 1

für die Bedingung

Ψ (2 \cdot π) = 1

gilt dann

Ψ (2 \cdot π) = 1 \cdot e^{λ \cdot 2 \cdot π} = 1

1 = e^{λ \cdot 2 \cdot π}

wenn ich jetzt aber dann nach

λ

auflöse ergibt das doch keinen Sinn

1 = e^{λ \cdot 2 \cdot π} | ln (. .)

ln (1) = λ \cdot 2 \cdot π

0 = λ \cdot 2 \cdot π

\Leftrightarrow λ = \frac{0}{2 \cdot π} = 0

oder?

Also habe ich als Eigenfunktion

Ψ (x) = Ψ (0) \cdot e^{λ \cdot x}

und als Eigenwert

λ = 0

ledum aktiv_icon

18:46 Uhr, 22.04.2017

Hallo
da steht dann ja

\frac{d}{d x} (f (x)) = λ \cdot f (x)

eine Differentialgleichung mit der Lösung

f (x) = C \cdot e^{λ \cdot x}

f (0) = 0

folgt

C = 1

für alle

λ

f (2 π) = 11 = e^{λ \cdot 2 π} = 1

dafür gibt es kein reelles

λ

. aber

λ = i

und

λ = k \cdot i k

inZZ erfüllt fie Bedingung,

λ = 0

gibt die triviale Lösung

f = 1

Gruß ledum

00Student00 aktiv_icon

18:57 Uhr, 22.04.2017

Das sieht doch gut aus

e^{i \cdot π} = - 1

soweit ich weiß

dementsprechend ist dann ja

e^{2 \cdot i \cdot π} = 1

Also sage ich dann, dass nach der Eigenwertgleichung folgendes gilt:

\frac{d}{d x} Ψ (x) = λ Ψ (x)

mit

Ψ (x) = C \cdot e^{λ x}

und

λ \in [i;

k*ik

]

bzw.

λ = 0

oder wie drückt man dann die Eigenwerte und Eigenfunktion des Operators aus?

mihisu aktiv_icon

19:40 Uhr, 22.04.2017

Es ist:

e^{λ \cdot 2 π} = 1 \Leftrightarrow λ \cdot 2 π = 2 π i \cdot k für ein k \in ℤ \Leftrightarrow λ = i \cdot k für ein k \in ℤ \Leftrightarrow λ \in i ℤ

Die Lösung der Aufgabe lautet also:

Die möglichen Eigenwerte sind

λ \in i ℤ

und die jeweilige Eigenfunktion ist gegeben durch

Ψ (x) = e^{λ x}

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