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Eigenwerte bei einer 4x4 matrix

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Determinanten

Eigenwerte

Tags: Determinanten, Eigenwert

benjamin1581 aktiv_icon

11:27 Uhr, 29.07.2010

Hi,

hatte gestern das Problem, dass ich nicht wusste wie ich bei einer

4 x 4

Matrix die Eigenwerte berechne. Hab dies jetzt mal an einer Aufgabe probiert und bin bis zum charakteristischen polynom gekommen.
Bin mir aber nicht sicher ob der rechen weg richtig ist.

Hier die Aufgabe:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 7 & - 12 & - 15 \\ 0 & - 1 & - 5 & - 6 \\ 0 & - 3 & 1 & - 1 \end{matrix})

die matrix nennen wir Matrix A.

Mein vorgehen:

E =

Einheitsmatrix

A - λ \cdot E

und dann den Entwicklungssatz von Laplace angewendet nach der ersten Spalte, so dass dann nur noch da steht:

= (1 - λ) \cdot (\begin{matrix} - 7 - λ & - 12 & - 15 \\ - 1 & - 5 - λ & - 6 \\ - 3 & 1 & - 1 - λ \end{matrix})

jetzt Sarrus anwenden und wir bekommen:

= λ^{4} + 12 λ^{3} - 11 λ^{2} + 45 λ - 47

???

Ist der rechenweg bis hier hin mathematisch Korrekt oder habe ich, ausser eventuell fehler beim aus multiplizeiren, irgendwelche fehler gemacht???
Wenn ihr die Eigenwerte dazu kennt wäre es super die mir zu nennen.

Danke benjamin

Miro1987 aktiv_icon

12:18 Uhr, 29.07.2010

Ich komme für das charakteristische Polynom:

λ^{4} + 12 λ^{3} - 17 λ^{2} + 45 λ - 41

Rechne nochmal nach und starte mal einen Versuch zur Berechnung der Eigenwerte.

Tipp: Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms!!
Es gibt zwei reele und zwei komplexe Eigenwerte

lg Mick

benjamin1581 aktiv_icon

13:20 Uhr, 29.07.2010

Danke für deine Hilfe!!!

Komme nur auf einen Eigenwert aber das ist nicht so wichtig mir ging es um den weg! Weil jetzt kann ich den dazu gehörigen eigenvektor berechnen.

danke mfg ben

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